高中三角函数知识点与常见习题类型解法.doc

三角函数知识点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数:(1)弧长公式:R为圆弧的半径,为圆心角弧度数,为弧长。(2)扇形的面积公式:R为圆弧的半径,为弧长。(3)同角三角函数关系式:①倒数关系:②商数关系:,③平方关系:(4)诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)所谓奇偶指的是整数的奇偶性;函数2、两角和与差的三角函数:(1)两角和与差公式:【注:公式的逆用或者变形】(2)二倍角公式:从二倍角的余弦公式里面可得出:降幂公式:,(3)半角公式(可由降幂公式推导出):,,3、三角函数的图像和性质:(其中)三角函数图像定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)最小正周期奇偶性奇偶奇单调性单调递增单调递减单调递增单调递减单调递增对称性对称轴:对称中心:对称轴:对称中心:对称中心:零值点最值点无4、函数的图像与性质:(本节知识考察一般能化成形如图像及性质)(1)函数和的周期都是(2)函数和的周期都是(3)五点法作的简图,设,取0、、、、来求相应的值以及对应的值再描点作图。(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。【函数的平移变换】:①将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减)【函数的伸缩变换】:①将图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的倍(缩短,伸长)②将图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍(伸长,缩短)【函数的对称变换】:①)将图像绕轴翻折180°(整体翻折);(对三角函数来说:图像关于轴对称)②将图像绕轴翻折180°(整体翻折);(对三角函数来说:图像关于轴对称)③将图像在轴右侧保留,并把右侧图像绕轴翻折到左侧(偶函数局部翻折);④保留在轴上方图像,轴下方图像绕轴翻折上去(局部翻动)5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换:特别是用“1”的代换;如等。(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:;配凑角:;等。(3)降次与升次;切化弦法。(4)引入辅助角。,这里辅助角所在象限由的符号确定,角的值由确定。【典型例题】:1、已知,:因为,又,联立得解这个方程组得2、求的值。解:原式3、若,:法一:因为所以得到,又,联立方程组,解得所以法二:因为所以,所以,所以,所以有4、求证:。证明:法一:右边=;法二:左边=5、求函数在区间上的值域。解:因为,所以,由正弦函数的图象,得到,所以6、求下列函数的值域.(1); (2))解:(1)=令,则利用二次函数的图象得到(2)=令,则则利用二次函数的图象得到7、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为,它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式。解:由最高点为,得到,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x轴交点的间隔是个周期,这样求得,T=16,所以又由,得到可以取8、已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若求f(x)的最大值、:(Ⅰ)因为f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x所以最小正周期为π.(Ⅱ)若,则,所以当x=0时,f(x)取最大值为当时,f(x)取最小值为9、已知,求(1);(2):(1);(2).说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。10、求函数的值域。解:设,则原函数可化为,因为,所以当时,,当时,,所以,函数的值域为。11、已知函数;(1)求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;(2)证明:函数的图像关于直线对称。解:(1)所以的最小正周期,因为,所以,当,即时,最大值为;(2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,因为,,所以成立,从而函数的图像关于直线对称。12、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1(x∈R),(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?解:(1)y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x-1)++(2sinx·cosx)+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即x=+kπ,(k∈Z)。所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y