函数值域求法十一种（学习）.doc

函数值域求法十一种在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域, 不但要重视对应法则的作用, 而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域, 是学生感到头痛的问题, 它所涉及到的知识面广, 方法灵活多样, 在高考中经常出现, 占有一定的地位, 若方法运用适当, 就能起到简化运算过程, 避繁就简, 事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 1. 求函数 x 1y?的值域。解: ∵0x?∴0x 1?显然函数的值域是: ),0()0,( ?????例 2. 求函数 x3y??的值域。解: ∵0x?3x3,0x?????故函数的值域是: ]3,[ ?? 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数]2,1[x,5x2xy 2?????的值域。解:将函数配方得: 4)1x(y 2???∵]2,1[x??由二次函数的性质可知:当 x=1 时, 4y min?,当 1x??时, 8y max ?故函数的值域是: [4, 8] 3. 判别式法例 4. 求函数 2 2x1 xx1y????的值域。解:原函数化为关于 x 的一元二次方程 0x)1y(x)1y( 2????(1 )当 1y?时, Rx?0)1y )(1y(4)1( 2???????解得: 2 3y2 1??(2 )当 y=1 时, 0x?,而???????2 3,2 11 故函数的值域为??????2 3,2 1 例 5. 求函数)x2(xxy???的值域。解:两边平方整理得: 0yx)1y(2x2 22????(1) ∵Rx?∴0y8)1y(4 2?????解得: 21y21????但此时的函数的定义域由 0)x2(x??,得 2x0??由0??,仅保证关于 x 的方程: 0yx)1y(2x2 22????在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间[0, 2] 上,即不能确保方程( 1 )有实根,由 0??求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为??????2 3,2 1 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵2x0??0)x2(xxy?????21y,0y min????代入方程( 1) 解得: ]2,0[2 2222x 41????即当2 2222x 41???时, 原函数的值域为: ]21,0[?注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6. 求函数 6x5 4x3??值域。解:由原函数式可得: 3y5 y64x???则其反函数为: 3x5 y64y???,其定义域为: 5 3x?故所求函数的值域为: ????????5 3, 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。例 7. 求函数 1e 1ey x x???的值域。解:由原函数式可得: 1y 1ye x???∵0e x?∴01y 1y???解得: 1y1???故所求函数的值域为)1,1(?例 8. 求函数 3x sin x cos y??的值域。解:由原函数式可得: y3x cos x sin y??,可化为: y3)x(x sin 1y 2????即1y y3)x(x sin 2????∵Rx?∴]1,1[)x(x sin????即11y y31 2????解得: 4 2y4 2???故函数的值域为?????????4 2,4 2 6. 函数单调性法例 9. 求函数)10 x2(1x log 2y 3 5x??????的值域。解:令 1x log y,2y 32 5x1????则21y,y 在[2, 10] 上都是增函数所以 21yyy??在[2, 10] 上是增函数当 x=2 时,8 112 log 2y 3 3 min?????当 x=10 时,33 9 log 2y 3 5 max???故所求函数的值域为: ??????33 ,8 1 例 10. 求函数 1x1xy????的值域。解:原函数可化为: 1x1x 2y????令1xy,1xy 21????,显然 21y,y 在],1[ ??上为无上界的增函数所以 1yy?,2y 在],1[ ??上也为无上界的增函数所以当 x=1 时, 21yyy??有最小值 2 ,原函数有最大值 22 2?显然 0y?,故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,