随机游走与布朗运动.pdf

随机游走()对称随机游走假设连续抛掷一枚均匀的硬币。抛掷结果记为122...,设1,ifjHMj1,ifjT定义一个随机过程Mkk,0,1,2,...,其中M00kMM,k1,2,...kjj1可以看出,Mkk,0,1,2,...的特点是增量独立、升降的绝对幅度相同、概率相等,被称为对称随机游走。独立同分布增量:kiMMMkikjjk1不相交的时间区间上Mk的增量是独立同分布的。其期望值为,方差则为kiVarMkiMkVarMjijk1总之,Mk具有独立同分布的增量,增量期望值为零,方差为时间长度。每单位时间的方差为。鞅过程和鞅差分性质对于任何整数i0,EMki||kEMkiMkMkkMk因此是一个鞅过程,而是其一步增量构成的时间序列,是一个鞅差分序列。MkMj马尔可夫性质EfMt||sEfMtMsMssEhMM,|MforhMM,MfMMMtssstsstss根据独立性引理,存在一个函数g,gxEhMtsM,x使得EhMtsMss,|MsgM因此随机游走过程为马尔可夫过程。假设随机变量向量Xs和随机变量向量Xt表示一个时间序列中相互独立的两个随机变量向量。设h是Xs和Xt的函数。定义gxsEhxs,Xt其中,xs为Xs对应的哑变量向量(表示确定的取值)。则EhXs,|XtsgXs其中,式是关键。它表明,在给定Xs为xs的情况下,g是对Xt的积分,因此是xs的函数,而不是Xt的函数。在式中,我们将哑变量xs用Xs再代回。二次变分性质()截至时刻k,对称随机游走的二次变分定义为k2M,MMMkkjj1j1尽管二次变分和方差都等于k,但这两者的计算是截然不同的。方差是关于所有路径,以其概率为权重求平均,概率一旦不是,方差不一定会是;而是沿单条路径kMM,k计算的,不涉及概率。我们只是在理论上能算得随机游走的方差,因为我们无法得知所有路径的真实情况;然而我们可以沿着真实的路径算出二次变分。在对称随机游走的这个特例中,所有路径的二次变分都是k。但并不意味着所有的随机过程的二次变分对于所有路径都是一样的。按比例缩小对称随机游走11ntWntMMntjnnj1其中n为正整数。1Wtn的设定意味着对于每个时刻,都走了n步,每一步的升降幅度为。n由于每一步仍是独立的,Wtn的增量为11WnntWsMMnnntns其期望值为,方差为ts。例如,假设n100,时刻至时刻,走了步,WW100100表示从第步到第步(共步)的增量,期望值为,方差为。Wtn仍具有(增量)独立同分布、鞅过程和马尔可夫性质,其二次变分为nt210010011W,WtMMtjj1j1nn每一步只有两个可能的随机过程总是可以绘成二叉树模型。给定时刻t,Wtn服从什么分布?例如,W100意味着走了步,由于每一步或者取值,或者取值。W100的可能取值范围从到之间,共个取值,每个取值间隔为,其对应的概率也可计算出来,例如,25100131PWC252用直方图可以将其表示出来。很显然,分布接近正态分布,期望值为,方差为。固定t0,当n时,按比例缩小型随机游走Wtn的分布收敛于期望值为、方差为t的正态分布。证明:期望值为、方差为t的正态分布的矩母函数为:1at2aexpaXexpaxfxxde2nt为整数时,Wtn的矩母函数为ntntn1aaexpaaWtexpMexpMnjjj1nnj1独立增量的性质意味着aaaantntant1111aexpMenneennenjj11nj2222要证明分布的收敛,等价于证明当n时,aa11ntlnenne22收敛于1at22运用两次法则可以得证。布朗运动()(标准)布朗运动设,,是概率空间。对于每个,假设存在依赖于的,W00的连续函数Wtt0。如果不重叠时间段上的增量两两独立;每个增量均