极限——公式总结.doc

极限——公式总结浅谈极限计算甘肃省经济贸易学校李发梅我们知道,极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念,是从近似认识精确,从有限认识无限,从量变认识质变的一种数学方法。同时,极限是微分的理论基础,研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限,如连续、导数、定积分等,由此可见极限的重要性。而如何求极限,怎样使求极限变得容易,这是绝大多数学生尤其是基础较差的中专学生较为头痛的问题。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件,而且还要能准确地求出各种极限。求的方法很多,针对中专学生的实际情况,笔者从基本概念、基本思路和计算方法三个方面总结如下。一(基本概念要求函数的极限,首先而且必须要正确理解函数的极限以及与其有关的几个重要的基本概念。?;.以上两个充要条件不仅给出了判断极限是否存在的一个准则,而且指明了含义为两方面;的含义为两方面。?无穷大和无穷小无穷大和无穷小(除常数0外)都不是常数,而是两类具有特定变化趋势的变量,如果变量在某变化过程中,其绝对值无限制地增大,则称在该变化过程中,为无穷大;如果在某变化过程中变量以零为极限,则称在该变化过程中,为无穷小。笼统说某变量是无穷大或无穷小而没有指出变化趋势都是不正确的。要求极限必须理解下面几个与无穷大或无穷小有关的重要关系,它们对求函数的极限非常有用。?函数的极限与无穷小的关系:?无穷小与无穷大的关系:在同一变化过程中,若为无穷大,则是无穷小;若是无穷小,则是无穷大。?无穷小与有界函数的关系:无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。?函数连续与极限的关系在某点处函数的连续性与极限既区别又联系。区别是:函数在某点处连续不仅要求函数在这一点有极限,而且要求函数在这点处的极限值一定等于该点的函数值;而极限则是指函数在某点附近的变化趋势,而与函数在该点处是否有定义或该点处的函数值没有关系。联系是:?函数在点连续的充要条件是:。由此充要条件在可以判断分段函数在分段点处的连续性。?函数在点连续存在。二(求极限的基本思路极限的计算题中分两大类:一类是确定型的极限,它包括以下几种情况:?根据初等函数的连续性;?直接利用极限运算法则;?利用无穷大与无穷小的关系;?利用无穷小与有界函数乘积为无穷小。?另一类是未定型(也称未定式)的极限,它包括:、、?—?、1型。计算未定型限的基本思路是通过恒等变形等转化为确定型的极限进行计算,或利用两个重要极限,或罗必达法则进行计算。三(求极限的方法?(确定型的极限?利用连续函数的连续性求极限——代入法由函数在点连续定义知,。由于初等函数在定义区间内处处连续,所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值,就是求其函数在该点处的函数值。【例1】:求【解】?是初等函数,在其定义域(全体实数)内连续?所以用代入法求出该点的函数值就可。即=2?2,2?2,5=3。【例2】;求【解】由于=在处连续,所以?利用极限的四则运算法则求极限。设=A,=B,则?=A?B;?=A?B,特别地=C?A,。?利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”性质求极限。利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”这一性质可以计算某些函数的极限,但在应用这一性质求极限时,要注意求解过程的写法。【例3】求的极限【解】当时,是无穷小,而是有界函数,因此利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小很快就会得解。于是,=0?利用无穷大与无穷小的