内积与标准正交基.ppt

定义 12 维向量设有 n,, 2 12 1?????????????????????????????? nny y yyx x xx??内积。的与为向量称令),( ),( 2211yxyx yxyxyxyx nn?????一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质说明 1 维向量的内积是 3维向量数量积的推广,但是没有 3维向量直观的几何意义. ?? 4?nn .y) (x, : , ,, 2yx yx T?为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算内积的运算性质??:,,, 为实数维向量为其中?nzyx .00),(,0), )(4( ),(),(), )(3( );,(), )(2( );,(),()1(?????????xxxxx zyzxzyx yxky kx xyyx且定义 2 ??,, 222 21nxxxxxx??????令??.或的维向量为称xnx 长度范数向量的长度具有下述性质: ;0,0;0,0????xxxx时当时当;xx???.yxyx???二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质维向量间的夹角单位向量及 n????.1,5,1,33,2,2,1 的夹角与求向量????例解??????? cos ?2 2623 18???????的夹角。与称为向量时当为单位向量。可知单位向量。若为称时当yx yx yxyx xx),( os ,0,02 x ||x || 10,x,11??????.4 ???? 1正交的概念 2正交向量组的概念.,0),(yxyx与称向量时当?正交.,0, 与任何向量都正交则若由定义知 xx? 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组. 三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法,00 21111???????? 1?? 2??? r???同理可得.,,, 21 线性无关故 r????使设有 r???,,, 21?证明0 2211???? r ???????得左乘上式两端以, 1a T0 111???? T 3正交向量组的性质线性无关. ,,,则非零向量, 是一组两两正交的,,, 维向量若定理 r rn???????? 21 211 例1已知三维向量空间中两个向量???????????????????????1 2 1,1 1 1 21??正交,试求使构成三维空间的一个正交基. 3? 321???,, 4向量空间的正交基. ,,,,, ,,,,,, 21 21 21 的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若V V r r r????????????即???????????02),( 0),( 32132 32131xxx xxx????, 231???xxx 则有若令,1 3?x???????????????????????1 0 1 3 2 13x x x?由上可知构成三维空间的一个正交基. 321???,, 0),(),( 3231??????则有解??.,,0,, 213213 正交且分别与设????? Txxx 5规范正交基.,,,, ,,,,) (,,,3 21 21 21 的一个规范正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设定义 Veee eeeR VVeeen r r n r????.21 21 0 0,21 21 0 0,0 0 21 21,0 0 21 21 4321??????????????????????????????????????????????????????????????eeee 例如