椭圆常结论及其结论(完全版).docx

、椭圆的第二定义+:2椭圆常用结论一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e,,定直线叫做准线,常数左对左,右对右)e就是离心率.(点与线成对出现,22对于•爲=1,左准线h:xaba222对于与二药,下准线h:yab2—;上准线12:y-C C椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称2焦点到准线的距离p=’--cb宀厶"(焦参数)cBi、焦半径圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段,叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式:焦点在x轴(左焦半径)匚=aex0,(右焦半径)r2二a-ex0,其中e是离心率,焦点在y轴MFi=a+ey°,MF2=a—ey。其中Fi’F?分别是椭圆的下上焦点-焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 .可以记为:左加右减,上减下加•PF1_a-c,PF2_a-c推导:以焦点在x轴为例如上图,设椭圆上一点Pxo,yo,,・匸旦=e,PM则Ph=ePM|=ex0f2、f 2>f 2\c丄ac丄a=ex°+_x°+’cz/<c丿a<c丿=aex。同理可得PF2=a-exo三、通径:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦,以焦点在弦ABx轴为例,b2,BbTc,-一c,——I a丿IaJ坐标:A弦AB长度:AB2b2a22COS:=2PFiPF?四、若P是椭圆:冷■存=1上的点•F1,F2为焦点,若/F1PF^<1,则.■PF1F2的面积为ab推导:1如图SZPf1f^-PF1PF2sinT根据余弦定理,得btan2PF|2+|PF|2|FiF22PFiPF)2-2|PFi|PF2-4c22PFd'iPF2|4a2-2|PF1PF2-4c22PF1IPF24b2-2PFiPF22|PFj]PF2「得PF1PF22b21COS-1,1SPF1F2=?PFiPF2sinr=-2b21cos-sinr=b2-^^=b2tan-1cos^ 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则它的弦长AB=Jl+k2Ix—X2、(1k2)||(Xi+X2)—4XiX2注:实质上是由两点间距离公式推导出来的 ,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已为%-y2=^(人-x2),运用韦达定理来进行计算当直线斜率不存在是,则AB=|Yi-、圆锥曲线的中点弦问题:(1)椭圆中点弦的斜率公式:22Xy设M(Xo,y°)为椭圆— 2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有:abkABa2证明:设A(Xi,yi),B(X2,y2),则有kAB=◎,X|_X2-22卷仏=1a2 b2 '22乞 V2_=1a2 b22222*2X2■y12y2二0整理得:a b22X1-X2b2,即两式相减得:(y「『2)(%T2)(X1X2)(X1-X2)b2~,a因为M(x0,y0)是弦AB的中点,所以kOMy°_2xo_力y2Xo2yoX1X2所以kABkoMb2⑵遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。2 2 b2在椭圆务七=1中,以M(xo,y。)为中点的弦所在直线的斜率k=—ab ayo由(1得kABkoM