正弦定理证明方法.doc

正弦定理证明方法.doc正弦定理证明方法正弦定理证明方法方法1:用三角形外接圆证明:任意三角形ABC,。,所以ZDAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以ZD等于ZC•所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。•:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R方法2:用直角三角形证明:在锐角ZXABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH丄AB垂足为点HCH=a•sinBCH=b•sinA.\a•sinB=b•sinA得到a/sinA=b/sinB同理,在ZXABC中,b/sinB=c/sinC/.a/sinA=b/sinB=c/sinC在直角三角形中,在钝角三角形中。方法3:用向量证明:记向量i,使i垂直于AC于C,AABC三边AB,BC,CA为向量a,b,cAa+b+c=0贝!Ji二i•a+i•b+i•c=a•cos)+0+c•cos=~asinC+csinA=0a/sinA=c/sinC方法4:用三角形面积公式证明:在AABC中,设BC=a,AC二b,AB二c。作CD±AB垂足为点D,作BE丄AC垂足为点E,则CD=a・sinB,BE=csinA,由三角形面积公式得:AB•CD=AC•BE即c•a•sinB=b•csinAAa/sinA=b/sinB同理可得b/sinB=c/sinCa/sinA=b/sinB=c/sinC用余弦定理:*2+b2~2abC0Sc=c2COSc=/2abSIN"2二1-COS"2SINcf2/"2=42「2/4a"2*lf2*"2=[2-厂2-b"2-c”2]/4厂2*bV*“2同理可推倒得SIN*2/『2二SINb"2/bJ二SINc/"2得证正弦定理:三角形ABC中BC/sinA二AC/sinB二AB/sinC证明如下:在三角形的外接圆里证明会比较方便例如,用BC边和经过B的直径BD,构成的直角三角形DBC可以得到:2RsinD=BC角A二角D得到:2RsinA=BC同理:2RsinB=AC,2RsinC=AB这样就得到正弦定理了2一种是用三角证asinB=bsinA用面积证用几何法,画三角形的外接圆听说能用向量证,咋么证呢?三角形ABC为锐角三角形时,过A作单位向量j垂直于向量AB,则j与向量AB夹角为90,j与向量BC夹角为,j与向量CA夹角为,设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0j||AB|cos90+1jIIBC|cos+1jIICA|cos=0所以asinB=bsinA3用余弦定理:a^2+b^2-2abC0Sc=c2C0Sc=/2abSIN"2二1-C0S“2SIN"2/"2二4a八2*bV「2/4『2*b"2*c八2二[2-aJ 2]/4*2*L2*“2同理可推倒得SINa"2/a^2=SINb"2/b"2二SIN"2/c"2得证用余弦定理:*2+b"2-2abC0Sc=c^2C0Sc=/2abSINcV二1-COScVSINc"2/(f2二4a八2*1/2「2/4a"2*L2*"2二[2-a辽-b辽-"2]/4a辽*b八2*"2同理可推倒得SINa"2/厂2二SINb八2/L2二SIN“2/“2得证4满意答案好评率:100%△ABC中