对数正态分布.doc

在概率论与统计学中,对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X是正态分布的随机变量,则 exp(X)为对数分布;同样,如果 Y是对数正态分布,则ln(Y)为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 ,对数正态分布的概率分布函数为其中 与 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是方差为给定期望值与标准差,也可以用这个关系求 与与几何平均值和几何标准差的关系对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。 在这种情况下,几何平均值等于 ,几何平均差等于 。如果采样数据来自于对数正态分布,则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间,就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。置信区间界 对数空间 几何3σ下界2σ下界1σ下界1σ上界2σ上界3σ上界其中几何平均数 ,几何标准差[编辑] 矩原始矩为:或者更为一般的矩[编辑] 局部期望随机变量 在阈值 上的局部期望定义为其中 是概率密度。对于对数正态概率密度,这个定义可以表示为其中 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。[编辑] 参数的最大似然估计为了确定对数正态分布参数 μ与σ的最大似然估计,我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看其中用 表示对数正态分布的概率密度函数,用 —表示正态分布。因此,用与正态分布同样的指数,我们可以得到对数最大似然函数:由于第一项相对于 μ与σ来说是常数,两个对数最大似然函数 与 在同样的μ与σ处有最大值。因此,根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程,我们可以