对数正态分布.docx

在概率论与统计学中,对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量,则 exp(X) 为对数分布;同样,如果 Y 是对数正态分布,则 ln(Y) 为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。对于,对数正态分布的概率分布函数为
其中与分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是
方差为
给定期望值与标准差,也可以用这个关系求与
与几何平均值和几何标准差的关系
对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下,几何平均值等于,几何平均差等于。
如果采样数据来自于对数正态分布,则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间,就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。
置信区间界
对数空间
几何
3σ下界
2σ下界
1σ下界
1σ上界
2σ上界
3σ上界
其中几何平均数,几何标准差
[编辑] 矩
原始矩为:
或者更为一般的矩
[编辑] 局部期望
随机变量在阈值上的局部期望定义为
其中是概率密度。对于对数正态概率密度,这个定义可以表示为
其中是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。
[编辑] 参数的最大似然估计
为了确定对数正态分布参数μ与σ的最大似然估计,我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看
其中用表示对数正态分布的概率密度函数,用—表示正态分布。因此,用与正态分布同样的指数,我们可以得到对数最大似然函数:
由于第一项相对于μ与σ来说是常数,两个对数最大似然函数与在同样的μ与σ处有最大值。因此,根据正态分布最大似然参数估