山东大学数学专题高等代数部分五三讲ppt课件.ppt

第三讲第三讲多项式与子空间多项式与子空间 1 ( ) ( ) , ( ), , ( ) ( ),1 , ( ) 1 kii f t t t g f t u t ii k k t ??? ?? ?????? i1证:令g显然 g (t) 是两两互质的,即它们的最大公因式是1. 于是存在使g -1 1 k 1 k i 1 i k证明: ,f(t) 是域F上的多项式, f(A)= 0, 且 f(t)= f(t) f (t) , f , ,f 两两互质,且V= f(A) (0), . V = V ⊕⊕V 11 1 1 11 ( ) ( ) 1, ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, k k i i i k k i i i k i i i i i i i i i i ki u t t u A u A I x V x u A A x u A A x x u A A x x x x f A x f A u A A x u A f A A u A f A x x V V V V x V ?? ??? ????? ?? ????? ????????? k g (t) =于是 g = 对任意的有 g g 令=g,则 g g 即于是下面证明若 1 1 1 10. ( ) 0 (*) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 j j i i i j j j j j j i j i j i i i i i i i k k V x x V f A x x V x y y V x y x u A g A x u A g A y y y y V V V ?? ? ?? ??? ?? ?? ??????? ???? ? ?? ?? i i ,则,即,,即=,其中,将=代入中得到= 于是(V是 g (A) 的值域) 1 2 ( )( ) ( ) 0 0, , (2) ( ) 0. i i i i i i i i V V V X V A AX V A A X A AX V V A A A A ? ? ???????证明: (1) 由上题知,对任意的, g g 故