求数列的通项公式方法总结.doc

题型四::当题中已知数列是等差数列或等比数列,在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比。:和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法:一般地,对于型如类的通项公式,且的和比较好求,我们可以采用此方法来求。即:;【例1】已知数列满足,求数列的通项公式。解:(1)由题知:2、叠乘法:一般地对于形如“已知a1,且=f(n)(f(n)为可求积的数列)”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即:;【例2】在数列{}中,=1,(n+1)·=n·,求的表达式。解:由(n+1)·=n·得,=··…=所以3、构造法:当数列前一项和后一项即和an-1的递推关系较为复杂时,我们往往对原数列的递推关系进行变形,重新构造数列,使其变为我们学过的熟悉的数列(等比数列或等差数列)。具体有以下几种常见方法。(1)、待定系数法:①、一般地对于an=kan-1+m(k、m为常数)型,可化为的形式an+λ=k(an-1+λ).重新构造出一个以k为公比的等比数列,然后通过化简用待定系数法求λ,然后再求。【例3】设b>0,数列满足a1=b,.求数列的通项公式;解:,得,设,则,(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,即,∴(ⅱ)当时,设,则,令,得,,知是等比数列,,又,,.②、对于这种形式,一般我们讨论两种情况:i、当f(n)为一次多项式时,即数列的递推关系为型,可化为的形式来求通项。【例4】设数列中,,求的通项公式。解:设与原式比较系数得:即令ii、当f(n)为指数幂时,即数列递推关系为(A、B、C为常数,)型,可化为=),然后再求当A=C时,我们往往也会采取另一种方法,+1,重新构造数列,来求。【例5】设为常数,且(),证明:对任意n≥1,解:证明:设用代入可得∴是公比为,首项为的等比数列,∴(),即:(2)、倒数法:一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。【例6】.已知数列满足:,求的通项公式。解:原式两边取倒数得:即、对数法:当数列和an-1的递推关系涉及到高次时,形如:anp=man-1q(其中m、p、q为常数)等,我们一般采用对数法,等式两边分别取对数,进行降次,再重新构造数列进行求解。【例7】若数列{}中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=▁▁▁解由题意知>0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为2的等比数列,,即.(4)、特征方程法①、一般地对于形如已知an+2=Aan+1+Ban(A、B是常数)的二阶递推数列,我们可以采取两种方法来求通项。法一:可用特征方程的方法求解:我们称方程:x2-Ax-B=0为数列的特征方程(i)当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q时,有:,其中c1与c2由已知确定。(ii)当方程有唯一的实根p时,有,其中c1与c2由已知确定。法二:可构造成,则{}为等比数列,进而求通项公式,这种方法过程较为繁杂。【例8】已知a1=2,a2=3,,求通项公式。 解法一:特征方程的根为1,所以an=(c1n+c2)×1n由:得c1=c2=1,所以an=n+1。 解法二:设,可得x1=x2=1,于是{an+1-an}是公比为1的等比数