常用放缩方法技巧.docx

:..常用放缩方法技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:⑴添加或舍去一些项,如: 需—1a;Jn(n1)n⑵将分子或分母放大(或缩小)⑶利用基本不等式,如:lg3lg5(lg3lg5)2lgJ5lg,16lg4;" 1 22⑷二项式放缩:2n(11)nC: C;C:,2nC0 Cl n 1,2n2nC0C:c2n ; 2 2n(n 1)(n 2)(5)利用常用结论:I. 1的放缩k222kA1 2kk•、(1)1k(k1)11k2 k(k1)(程度大)(2):恭G111((k1)(k1) 2k1丄)(程度小)k1“.右的放缩⑶:右侖2(1 1 )(程度更小)(假)分数的性质:b」(ba0,m0)和B—(ab0,m 0)aam aam记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,•构造函数法构造单调函数实现放缩。例: f(x) (x0),从而实现利用函数单调性质的放缩:1xf(ab)f(ab)。(n,前n项和为Sn,求证:1)Sn1 (一)n,前n项和为S,求证:s:—3 2先放缩再求和(一){务},an(1)n其前n项和为Sn,求证:s2n(二)放缩后转化为等比数列。2例4.{bn}满足:bl1,bn1bn (n2)bn3(1)用数学归纳法证明:bnn(2)113 3b213bn,求证:Tnn. -⑵求证: 3三、裂项放缩no例5.(1)求J的值;k14k2 1111 7132522(2n 1) 62(2n1111116364n2 24n2(.n1 1)1112 -31n例6.(1)求证:1(2)求证丄4(3)求证:2(2n1 1)2)例7•求证:6n1 1 1(n1)(2n1) 491 5r?3例8•已知an 4n2n,T2 ,求证:T1T2T3a1a2 、分式放缩姐妹不等式:b丄卫⑴aaam记忆口诀”小者小,大者大”0,m 0)和babm,(aam0,m0)解释:看b,若b小,则不等号是小于号,:(11)(11)(11)(1丄)2n1和3 5 2n11 1 1(12)(1 4)(16)(12n)1 也可以表示成为2n12462n135 (2n1)、.;2n135 (2n1)246 27F1