2013考研数三真题及解析.docx

2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当 x ® 0 时,用 o( x) 表示比 x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )(A) x × o( x 2 ) = o( x3 )(B) o( x) × o( x 2 ) = o( x3 )(C) o( x2 ) + o( x 2 ) = o( x 2 )(D) o( x) + o( x 2 ) = o( x 2 )| x |x -1(2)函数 f ( x) = 的可去间断点的个数为( )x( x + 1)ln | x |(A)0(B)1(C)2(D)3(3)设 D 是圆域 D = {( x, y) | x 2 + y 2 £ 1} 位于第 k 象限的部分,记 I = òò ( y - x)dxdy (k = 1,2,3,4 ),k k则( )(A) I > 01(B) I > 02(C) I > 03(D) I > 04(4)设{a } 为正项数列,下列选项正确的是( )nDk, 则å (-1)n-1 a  收敛(A)若 a > ann+1¥n=1n(B) 若å (-1)¥n=1n-1a 收敛,则 a > an nn+11(C) 若å  a   收敛,则存在常数 P > 1 ,使 lim n P a  存在n®¥(D)若存在常数 P > 1 ,使 lim n P a  存在,则 å  a  收敛n®¥(6)矩阵 ç a  b a ÷ 与 ç 0 b 0 ÷ 相似的充分必要条件为ç 1 a 1 ÷  ç 0 0 0 ÷¥n nn=1¥n nn=1(5)设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若 AB = C , 则B可逆,则(A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价(B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价(C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价(D)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价æ 1 a 1 ö æ 2 0 0 öç ÷ ç ÷è ø è ø(A) a = 0,b = 2(B) a = 0, b为任意常数(C) a = 2, b = 0(D) a = 2, b为任意常数(7)设 X ,X ,X 是随机变量,且 X ~N(0,1) ,X ~N(0,22),X ~ N (5,3 2 ) ,1 2 3 1 2 3P = P{-2 £ X £ 2}( j = 1,2,3), 则( )j j(A) P > P > P1 2 3(B) P > P > P2 1 3(C) P > P > P3 1 2(D) P > P > P1 3 2(8)设随机变量 X 和 Y 相互独立,则 X 和 Y 的概率分布分别为,则 P{X + Y = 2} = ( )2(A)(B)(C)(D)112181612(9)设曲线 y = f ( x) 和 y = x 2 - x 在点 (0,1) 处有公共的切线,则 lim nf ç二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.æ n ö÷ = ________。n®¥ è n + 2 ø(10)设函数 z = z( x, y) 由方程 ( z + y) x = xy 确定,则¶z¶x(1,2) = ________。(11)求 ò+¥1ln x(1 + x) 2dx ________。(12)微分方程 y ¢¢ - y ¢ + 1 y = 0 通解为 y = ________。4( 13 ) 设 A = (a ) 是 三 阶 非 零 矩 阵 , | A | 为 A 的 行 列 式 , A 为 a 的 代 数 余 子 式 , 若ij ij ija + A = 0(i, j = 1,2,3), 则 A = ____ij ij(14)设随机变量 X 服从标准正态分布 X ~N(0,1) ,则 E ( Xe2 X ) = ________。三、解答题:15—23 小题,共 94 、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)当 x ® 0 时,1 - cos x × cos2 x × cos3 x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a 的值。(16)(本题满分 10 分)1设 D 是由曲线 y = x 3 ,直线 x = a(a > 0) 及 x 轴所围成的平面图形,V ,V 分别是 D 绕 x 轴, y 轴旋转一x y周所得旋转体的体积,若V = 10V ,求 a 的值。y x(17)(本题满分 10 分)设平面内区域 D 由直线 x