2020版函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全.docx

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题 (即函数自身)1、周期性:对于函数 y f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x取定义域内的每一个值时,都有f(x T)f(x)都成立,那么就把函数 yf(x)叫做周期函数,不为零的常数 T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做 最小正周期。2、对称性定义(略),请用图形来理解。3、对称性:我们知道:偶函数关于 y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式f( x)f(x)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)f( x) 0上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的探讨:(1)函数yf(x)关于xa对称f(a x)f(a x)f(a x)也可以写成f(x)f(2ax) 或f(x) f(2ax)1,y1)在上,通过f(x) f(2a x)可知,y1 f(x1)f(a x)简证:设点(xy f(x)f(2ax1),即点(2ax1,y1)也在yf(x)上,而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。(a x) (b x) a b若写成:f(a x)f(bx),函数yf(x)关于直线x 对称(2)函数yf(x)关于点(a,b)对称f(a x)2 2f(a x) 2b上述关系也可以写成f(2a x)f( x)2b 或f(2a x)f(x) 2b简证:设点(x1,y1)在yf(x)上,即 y1f(x1),通过f(2a x)f(x)2b可知,f(2ax1)f(x1)2b , 所 以f(2ax1) 2bf(x1)2b y1, 所 以 点(2ax1,2by1)也在yf(x)上,而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。若写成:f(a x)f(b x)c,函数yf(x)a b c关于点( , ) 对称2 2(3)函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于 yb对称,即关于任一个 x值,都有两个 y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于y b对称。但在曲线 c(x,y)=0 ,则有可能会出现关于 yb对称,比如圆2c(x,y) x2y 4 0它会关于y=0对称。4、周期性:(1)函数 yf(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为 2TA、f(xT) f(x) B、f(xT)或f(xT)f(x)f(x)1 1TC 、f(x )21 f(x)1 f(x)T或f(x )21 f(x)1 f(x)(等式右边加负号亦成立)D 、其他情形(2)函数yf(x)满足f(a x)f(ax) 且f(b x)f(bx) ,则可推出f(x)f(2a x)f[b(2ax b)]f[b(2ax b)]f[x2(ba)] 即可以得到y f(x)的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”(3)如果奇函数满足f(x T)f(x)则可以推出其周期是 2T,且可以推出对称轴为Tx 2kT (k2z),根据f(x)f(x2T)可以找出其对称中心为(kT,0)(kz)(以上T 0)如果偶函数满足f(x T)f(x)则亦可以推出周期是 2T,且可以推出对称中心为T( 2kT2,0)(kz),根据f(x)f(x2T)可以推出对称轴为 x T2kT (kz)(以上T 0)(4)如果奇函数 yf(x)满足f(T x)f(Tx)(T0),则函数yf(x)是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数 yf(x)满足f(T x)f(Tx)(T0),则函数yf(x)是以2T为周期的周期性函数。定理 3:若函数f x 在R上满足f(a x)f a x,且f(b x)f b x(其中a b),则函数 yf x 以2a 4:若函数f x 在R上满足f(a x)f a x,且 f(b x)f b x(其中a b),则函数 yf x 以2a:若函数 fx 在R上满足f(a x)f a x,且f(b x)f b x(其中ab),则函数yf x以4a、 两个函数的图象对称性1、 yf(x)与yf(x)关于X轴对称。换种说法: yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x),即它们关于 y0对称。2、 yf(x)与yf( x)关于Y轴对称。换种说法: yf(x)与yg(x)若满足f(x)g( x),即它们关于 x