数学分析考研大纲.doc

数学分析考研大纲
第一部分集合与函数
1、集合
实数集、有理数与无理数的调密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限复盖定理。上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广。
2、函数
函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理。初等函数以及与之相关的性质。

第二部分极限与连续
数列极限
数列极限的定义,收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质)
数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用。
函数极限
各种类型的一元函数极限的定义(、语言),函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限:及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号о与O的意义。多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系。
函数的连续性
函数连续与间断的概念,一致连续性概念。连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最值可达性、介值性、一致连续性)。

第三部分微分学
1、一元函数微分学
(i)导数与微分
导数概念及其几何意义,可导与连续的关系,导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。
(ii)微分学基本定理及其应用
Feimat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理, Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项)及应用,函数单调性判别法,极值、最值、曲线凹凸性讨论。
2、多元函数微分学
(i)偏导数与全微分
偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式。
(ii) 隐函数定理与多元微分的应用
隐函数存在定理的应用,隐函数组存在定理的应用,隐函数(组)求导方法,反函数组与坐标变换。几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线)。极值问题研究(必要条件与二元极值的充分条件),条件极值与Lagrange乘数法的应用。
第四部分积分学
一元函数积分学
(i)不定积分
原函数与不定积分概念、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)有理函数积分,型积分,型积分
(ii)定积分
定积分概念与几何意义,可积条件(必要条件、充要条件:),可积函数类。定积分性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理) 变上限积分函数,微积分基本定理,N-L公式及定积分计算,定积分第二中值定理应用。
(iii)广义积分
无限区间上的广义积分概念、Canchy收敛准则,绝对收敛与条件收敛。非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法), Abel判别法,Dirichlet判别法。无界函数广义积分概念及其收敛性判别法。
(iv)定积分的应用
微元法思想。几何应用(平面图形面积、已知