用定义证明函数的单调性.ppt

、课题导入1分钟前面我们已经知道了什么是增函数,什么是减函数的定义,以及它们的单调区间,我们只能通过图像来判断在某个区间内这一段是增还是减函数。那么我们还能用什么方法来判断在某个区间内它是增函数还是减函数呢?二、、预习指导5分钟怎样通过解析式就能判断函数的单调性?证明:函数f(x)=-2x+2在R上是单调减函数证:在R上取两个值x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(-2x1+2)-(-2x2+2)=-2(x1-x2,)因为x1<x2,所以-2(x1-x2,)0,所以f(x1)-f(x2)0及f(x1)f(x2)所以f(x)=-2x+2在R上是单调减函数取值做差变形定号下结论任意<<<<四、引导探究25分钟例2:物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,:按题意,只要证明函数在区间(0,+∞)?证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则????21122121VVVVkVkVkVpVp?????由V1,V2∈(0,+∞)得V1V2>0;由V1<V2,得V2-V1>0.????021??VpVp又k>0,于是????21VpVp?即所以,,当体积V减小时,压强p将增大.??????,0,VVkp取值作差定号下结论证明函数单调性步骤证明函数单调性的一般步骤:⑴取值:设x1,x2是给定区间内的两个任意值,且x1<x2(或x1>x2);⑵作差:作差f(x1)-f(x2),并将此差式变形(要注意变形到能判断整个差式符号为止);⑶定号:判断f(x1)-f(x2)的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论;⑷下结论:、课堂小结2分钟本节课主要学习了以下内容:;、【当堂清学】10分钟基础题证明函数f(x)=x-1的单调性证:任取x1,x2且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1-x2<0,则f(x1)<f(x2)所以f(x)=x-1在R上是增函数。(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数。任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2),由题设有x1-x2<0,当x1,x2∈(-∞,0)时,x1+x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,于是f(x1)>f(x2)所以f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数。选做题已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数?解:设x1,x2∈R,且x1<x2,则F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].因为f(x)是R上的增函数,且x1<x2,所以a-x2<a-(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1)所以[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0所以F(x1)<F(x2)所以F(x)是R上的增函数