线性规划化问题的简单解法.docx

简单线性规划问题的几种简单解法依不拉音。司马义(吐鲁番市三堡中学, 838009)“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修 5,进入了高考试题,并且保持了较大的考察比例,几乎是每年高考的必考内容,也是高中数学教学的一个难点。简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。 简单线性规划问题的标准型为:AxByG0(0)约束条件A2xLB?yC20(0),(mN),目标函数zAxBy,AmxBmyCm0(0)下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。、画出约束条件表示的可行区域,这里有两种画可行区域的方法。⑴代点法:直线Ax+By+C=0(c不为0)的某侧任取一点,把它的坐标代入不等式,若不等式成立,则不等式表示的区域在该点的那一侧;若不成立,则在另一侧。⑵B判别法:若E>0(v0),则不等式Ax+By+C>0(V0)表示的区域在直线Ax+By+C=0的上方;若B>0(V0),则不等式 Ax+By+C<0(>0)表示的区域在直线Ax+By+C=0的下方。(即若B与0的大小方向跟不等式的方向相同,则可行区域是边界线的上方;若B与0的大小方向与不等式的方向相反, 则可信分区域是边界线的下方)用上面的两种方法画出可行区域是很简单,所以这里不必举例说明。第二步、在画出的可行区域内求最优解(使目标函数取最大值或最小值的点) ,这个可以用下面的两种办法解决。… az⑴y轴上的截距法:若b0,直线y x 所经过可行域上的点使其y轴上bb的截距最大(最小)时,便是z取得最大值(最小值)的点;若b0,直线y-x-bb所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大(最小)时,是z取得最小值(最小值)的点(提醒:截距不是距离,截距可以取正负) 。xy1,,y满足约束条件yx,求z2xy的最大值、最小值。y0,解:如图1作出可行域,因为y的系数1大于0,目标函数z2xy表示直线y2xz在y轴上的截距,当直线过A(1,0)时,截距值最大Zmax2102,当直线过点0(0, 0)时,截距值最小 zmin 20 0 0。Ay、 y=x图1例2•若变量x,y满足约束条件y1xy0,求zx2y的最大值和最小值。xy2 0解:如图作出可行域,y的系数-2小于0,过点A(1,-1)时在y轴上的距最小,目标函数zx2y取得最大值,所以 Zmax12(1)3;过点B(-1,1)时在y轴上的截距最大,目标函数zx2y取得最,所以Zmin 121 3。⑵法向量法:目标函数 zAxBy的法向量为(A,B),它垂直于目标函数直线的向量。当目标函数的值线沿目标函数法向量方向平移时,目标函数值逐步增加,与可行区域最后(最先)相交的点上取最大值(最小值);当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时,目标函数值逐步减少,与可行区域最后(最先)相交的点上取最小值(最大值) 。(x,y)在以A(2,1)、B(-1,-6)、C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内,求z=4x-3y的最大值与最小值。解:目标函数z=4x-3y的法向量为(4,-3),目标函数的直线沿法向量的方向平移时,最先与可行域在C点上相交,最后在B点上相交(因为目标函数的等值线从左上角平移过来) 。所以目标函数在点C(-3,2)上取最小值zmin4(3)42 18,在点B(-1,-6)上取最大值Zmax4(1