(海伦公式)已知三角形三条边长,求面积海伦公式: S=(△)=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中 p是三角形的周长的一半 p=(a+b+c)/2. ~ ~ ~ ~ 以下转自百 度百科~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦( Heron , 也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据 Morris Kline 在1908 年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形,边长分别为 a、b、c,三角形的面积 S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的 p为半周长: p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注: "Metrica"( 《度量论》)手抄本中用 s作为半周长,所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 两种写法都是可以的,但多用 p作为半周长。——————————————————————————————————————————————由于任何 n边的多边形都可以分割成 n-2 个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。证明( 1): 与海伦在他的著作"Metrica"( 《度量论》) 中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 a、b、c的对角分别为 A、B、C, 则余弦定理为 cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab* √(1-cos^2 C) =1/2*ab* √[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4* √[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4* √[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4* √[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4* √[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形 ABC 面积 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明( 2): 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分
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