高中数列综合题.docx

1、明确基本的问题和方法问题:如求通项(递推)、求和(积)、不等式方法:求通项(叠加、叠乘、…)、求和(裂项、错位相减、…)、不等式(做差比较、构造函数、数学归纳法、…)2、关注提示性的信息一一方法的选择K例1〗已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk12akak1(kN*),其中ai 1.(1)求数列{ak}的通项公式;(2)对任意给定的正整数,数列{bk}满足bkak求b| b2 L :(1)利用ana1,&&1,(2)在数列求和时,:(1)当k1时,由当k>2时,由ak Sk因为ak0,所以ak1从而a?m1(m1)综上,ak(2)因为akbkbkbk1Lbk1 ,a1a2及a1 1,得a221—akak121—ak1ak,,a2m(m得ak(akak1)1)22m,N*).bk1所以亠bk7b1(ak11,2,L,n选择“叠乘”*.1),d1.,则易于求岀1)k1©k1)(nk2)L(nk(k1)L21(1)•n(k1,2,L,n)故b]b2 b3L bn1 1 2-GC:C3L(1)nn丄1c0C;C2L(1)ncn-[1(11)n]〖例2〗数列{an}中,a1 1,an112an an c(c1为常数,n1,2,3,L)且a3a2128(1)求c的值;(2)证明:anan1(n1,2,3,L);解析:(2)有递推关系一一选择做差(3)比较 丄与40an,的大小,并加以证明kiak 39(3)化归为熟悉问题一一求和:裂项;做差kiak40an139(5务1一3)(8an1一l3)问题实39(2ani)'现了转化:探索an12112,1(121a1 s】1 c c—,a3a2a2c (c)—222222与2和的关系8(1)解:依题意,a2111由a3a2,得一(c亍822(c-) 1,解得c2,或c1(舍去)28⑵证明:an1an22) 0,当且仅当an2时,an1因为a1 1,所以an1 an 0,即anan1(n1,2,3,L)(3)解:由an1122anan2,可得an(an1 an)(an2)(an12),从而———an an 21an1 2因为a11,所以k1akk1ak2ak1 2a12an1所以k1 401OT39an1an40 (5an1 3)(8an1 13)39an1 39(2an1)由a11,经计算可得F面用数学归纳法证明:①当n1时,由a1②假设当a2as13,且由(2)得an 1(n8N*).对于任意nk时,ak1时,因为anN*,(an1)2-,且函数21)2x1时单1调递增,所以ak1(ak21)212(21),不等式也成立。由①,②可知,对于任意nN*,有an2,亦即an ,当n1时,a140a2;当39n2时,a1a24039a3;133时,由13an1 40k1ak39an1(5an1 3)(8an1 13)39(2an1)〗:x2nxy0(n1,2,L).从点P(1,0)引斜率为kn(kn 0)的切线In,切点为R(Xn,yn).(1)求数列{xj与{yn}的通项公式;(2)证明:X1X3X5LX2n1I1X、、:(1)分析一:将切线方程与圆的方程联立求解,,需要求切线 :从图形(平面几何)岀发,会得到比较简捷的解法•在这种方法中,需要特别重视数形结合思想的应用分析:数列与函数的结合一一从问题岀发构造所需:如何求nX2i11解:(1)法一:设直线In:ykn(X1),方程联立kn(X2nx1)y20消去y,得& 1)x2 (2kn2n)x(2k2 2n)24k:(k:1)0,解得kn—v2n1(kn 舍去).2n1代回方程(*)解得xn—.所以ynn1kn(Xn1)Upn1整理可得Xn 』-n12又|PnQn||PQn||2I,即yn(Xn1)(nXn),整理得y.①因为xn1(2)证明:Xn1 Xn1 ^1Xnyn1..2n1所以(x1x3x5LX2n即X1X3X5LX2n11)2 X1X2X3X4LpXT\1Xn.(n2)0,故数列{Xn}、2cosx.②令f(x),f(x)对给定区间(0,—)有f(x) 0,所以函数f(x)在区间(0,—)上单调递减4 ,当x(0,—)时有f(x)f(0)4(1)而当亦即2sinYn4〗已知数列{an}中a1求{an}的通项公式;若数列{