高中数列综合题.doc

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数列综合
1明确基本的问题和方法
问题：如求通项(递推)、求和(积)、不等式
方法：求通项(叠加、叠乘、…) 、求和(裂项、错位相减、…)、不等式(做差比较、
构造函数、数学归纳法、…)
2、关注提示性的信息一一方法的选择
1
〖例1〗已知各项全不为零的数列 ｛aj的前k项和为Sk，且Sk= —akak卅(N*),其
2
中 a1 =1.
(1) 求数列｛ak｝的通项公式；
bk ak i
(2)对任意给定的正整数 n( n 一2),数列｛bk｝满足二匕片k=1,2,||l,n-1), b^ -1.
n =1.
fa1,
解析：(1)利用an
IS-S「，n >2.
(2)在数列求和时，常考虑确定其通项
.观察已知条件乩1
bk
I_ _ n
二一，选择“叠乘”，
则易于求出通项bk.
1
解: (1)当 k = 1 时，由耳=3 a1a2 及 a1 = 1，得 a2 = 2 .
2
1 1
当k>2时，由％2-氏兀2昭1-尹4比，得久&厂^“氓.
因为 ak = 0，所以 ak i - ak 4 = 2 .
从而 a2m4 =1 (m-1) 2 =2m-1 , a2m =2 (m T) 2 =2m , m N* .
(2) 因为ak =k，所以
0 ■, n - k n - k
bk ak 1 k 1
bk -
bk 川电 4=（一1严•（n-k+1）（n-k+2）ill（n-1）仁（_1严丄 c：.
' '八 八‘ n
bk 1 bk _2 b1
k (k -1) 2 1
(k =1,2J||，n)
n」 n
Cn
1 _
故 D 七2 b •||( bn 二一Cn—C：，C：_川(一1丁弋
n _
亠- clc； ci-lil (-1)ncn ?」[1-(1-1)n] J
n - n n
1 2
1例2〗数列｛an｝中，a1 =1，an 1二㊁务• c（ c 1为常数，n =1,2, 3山）且
1
a3 - a?
3 2 8
(1)
求c的值；
(2)
证明：an
:：an 1
n 1
-40
(3)
比较、•-
-与
k吕ak
39
解析:
（2）有递推关系
选择做差
(n =1,2,3川I)；
an 1的大小，并加以证明•
（3）化归为熟悉问题一求和：裂项；做差「丄孚…竿加 J，
k"k 39 39 （2—a.*）
问题实现了转化：探索
an与2和13的关系•
8
（1）解：依题意，a2
1 2 1 1 2
a3 a2 - a2 c (c )
2 2 2
1 111 1 1
由 a3 - a2 ，得一(c )2 (c ) ，解得 c = 2，或 c = 1 (舍去)
8 2 2 2 2 8
(2)
证明:
an 1 -an 弓a2 -2an • 2 =扣 -2)2 一 0 ,当且仅当 a^ 2 时,
an 1 = an
因为
ai -1 ,
所以 an 1 —an 0,即 an ：：： an 1( n =1,2,3,111).
(3)
解：由
1 2
时 °an -an 2，可得an®1—%"®—2"—2)，
从而
1 _ 1
an an - 2
1
an .1 —2
因为
ai =1，所以
k 4 ak
亠一 1.
2 —■ a* 1
所以
k 4 ak 39 2 _ an 1
40
39an1
(5an 1 3)(8 an 1 - 13)
39，(2 - anG
由a1 =1，经计算可得a2 = 3，
13
7，
且由(2)得 an _ 1 ( n •
F面用数学归纳法证明：对于任意
，有a* ：：： 2成立.
①当n =1时，由ai =1，显然结论成立.
②假设当n = k时，ak <2 .
1 2
当 n =k 1 时，因为 an 1 a； -an
2
1 2 3 1 2 3
x_1 时单调递增，所以 ak 1 (ak -1)2 (2 -1)2 2.
1 2 3
(an -1) ，且函数y
2 2
2 3 ：：：丄(2-1)2 3=2.
2 2 2
=扣_1)2+弓在
2 2
即当n = k ' 1时，不等式也成立。
由①，②可知，对于任意 n • N *，有an 2，亦即1乞an