高中数学直线和圆知识点总结.docx

直线和圆
一． 直线
1．斜率与倾斜角： k tan ， [0, )
（1） [0, )
2
时， k 0 ；（2）
2
时， k 不存在；（3） ( , )
2
时， k 0
（4）当倾斜角从 0 增加到 90 时，斜率从 0 增加到 ；
当倾斜角从 90 增加到 180 时，斜率从 增加到 0
2． 直线方程
（1）点斜式： ( )
y y0 k x x
0
（2）斜截式： y kx b
（3）两点式：
y
y
2
y
1
y
1
x
x
2
x
1
x
1
x y
（4）截距式： 1
a b
（5）一般式： Ax By C 0
3． 距离公式
（1）点 P1( x1 , y1) ， P2 (x2, y2 ) 之间的距离：
2 2
P1P2 (x2 x1) ( y2 y1)
（2）点 P( x0 , y0 )到直线 Ax By C 0 的距离：
d
| Ax By C |
0 0
2 2
A B
（3）平行线间的距离：
Ax By C1 0 与 Ax By C2 0 的距离： d
| C C |
1 2
2 2
A B
4． 位置关系
（1）截距式： y kx b 形式
重合：
k k b b 相交： k1 k2
1 2 1 2
平行： k1 k2 b1 b2 垂直： k1 k2 1
（2）一般式： Ax By C 0 形式
重合：
A B A B 且 A1C2 A2C1 且 B1C2 C1B2
1 2 2 1
平行： A1B2 A2 B1 且 A1C2 A2C1 且 B1C2 C1B2
1
垂直：
A1 A2 B1B2 0 相交： A1B2 A2 B1
5． 直线系
A1x B1y C1＋（A2x B2 y C2） 0 表示过两直线 l1 : A1x B1y C1 0 和 l2 : A2 x B2 y C2 0 交点的所
有直线方程（不含
l ）
2
二．圆
1． 圆的方程
（1）标准形式：
2 2 2
(x a) ( y b) R （ R 0）
（2）一般式：
2 2 0
x y Dx Ey F （
2 2 4 0
D E F ）
（3）参数方程：
x x r
0
y y r
0
cos
sin
（ 是参数）
【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决 .
（4）以
A( x , y ) , B( x2, y2 ) 为直径的圆的方程是： (x xA )(x xB ) ( y yA )( y yB ) 0
1 1
2． 位置关系
（1）点
P( x , y )和圆
0 0
2 2 2
(x a) (y b) R 的位置关系：
当
2 2 2
(x a) ( y b) R 时，点 P( x0, y0) 在圆
0 0
2 2 2
( x a) ( y b) R 内部
当
2 2 2
(x a) ( y b) R 时，点 P( x0, y0) 在圆
0 0
2 2 2
( x a) ( y b) R 上
当
2 2 2
(x a) ( y b) R 时，点 P( x0, y0) 在圆
0 0
2 2 2
( x a) ( y b) R 外
（2）直线 Ax By C 0 和圆
2 2 2
(x a) ( y b) R 的位置关系：
判断圆心 O(a,b) 到直线 Ax By C 0 的距离
d
| Aa Bb C |
2 2
A B
与半径 R 的大小关系
当 d R 时，直线和圆相交（有两个交点） ；
当 d R时，直线和圆相切（有且仅有一个交点） ；
当 d R 时，直线和圆相离（无交点） ；
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用 Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
1
3． 圆和圆的位置关系
判断圆心距 d O1O2 与两圆半径之和 R1 R2 ，半径之差 R1 R2 （ R1 R2 ）的大小关系
当
d R R 时，两圆相离，有 4 条公切线；
1 2
当
d R R 时，两圆外切，有 3 条公切线；
1 2
当
R R d R R 时，两圆相交，有 2 条公切线；
1 2 1 2
当