摆动法测量转动惯量.doc

实验4　用复摆测量刚体的转动惯量
一、实验目的
1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量；
2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；
3．学习用作图法处理、分析数据。
二、实验仪器
JD-2物理摆、光电计时器等
三、实验原理

如图4-1（单摆球的质量为m）当球的半径远小于摆长时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：
图4-1单摆原理
(4-1)
式中t为时间，g为重力加速度，为摆长。当（rad）很小时，
(4-2)
则（4-1）式可简化为：
（4-3）
令(4-4)
（4-3）式的解为：
（4-5)
式中，由初值条件所决定。
周期（4-6）
2．物理摆
图4-2物理摆(复摆)
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2，设物理摆的质心为C，质量为M，悬点为O，绕O点在铅直面内转动的转动惯量为，OC距离为，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为
(4-7)
令（4-8）
仿单摆，在很小时，（4-7）式的解为：
(4-9)
(4-10)
设摆体沿过质心C的转动惯量为，由平行轴定理可知：
(4-11)
将（4-11）代入（4-10）可得：
（4-12）
(4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T和（4-13）式右端各参变量之间的关系。实验就是围绕（4-12）式而展开的。
因为对任何都有∝，因此（4-13）式的T与M无关，仅与M的分布相关。
令，称为回转半径，
则有（4-13）
①一次法测重力加速度
由（4-12）式可得出
（4-14）
测出（4-14）右端各量即可得；摆动周期T，用数字计时器直接测出，M可用天平称出，C点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，可以计算出。
②二次法测
一次法测虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，就难以确定，为此采用如下“二次法”测：
当M及其分布（C点）确定以后，改变h值，作两次测T的实验，运用（4-13）式于是有
即(4-15)
(4-16)
联立解（4-15）、（4-16）式，可得出
（4-17）
这样就消去了，所以（4-17）测就有着广泛的适用性。从（4-17）式，更可十分明确地看到T与M的无关性。
虽然，任意两组（,），（,）实测值，都可以由（4-17）式算出；但是，对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（,）数据，使能得出最精确的的实测结果呢？为此必须研究（）关系：
将（4-12）式平方，于是可得出
（4-18）
从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：当h趋于0时T→∞，当h→∞，T亦趋于∞；可见在h的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对（4-18）作一次求导并令其为0；即由可得
（4-19）
（4-20）
即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h=a处所相应的T为极小值（为什么？）。
（注意：体会称a为回转半径的含义）将（4-13）式取二次导数
图4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系
为研究T（h），间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔以作为O点的Hi值（i=±1，±2，±3，……±14）于是可得出如图4-3所示的曲线。
在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，交图线于C，D，E，F四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（hD+hE）=hC+hF被称为等值单摆长。为理解这一点，将（4-17）式的T1与TE（或TD）对应，T2与TF（或TC）对应，h1为与T1对应的hE，h2为与T2对应的hF，并将(4-17)式改形为：
（4-22）
（4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从（4-22）可知，当T1=T2（=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（hE+hF）、（hC+hD）为等值单摆长。
从（4-20）式可知：==；而aX2=hE+h1
从图4-3可知，A，B二共轭点为T（h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算则将引起较大的误差。所以欲取得精确的的测量值，就只能取最大的F点和相应的E点来计算值。因孔的非连续性，E只能取TE近乎于TF的点代入（4-22）式。还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。
A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的，但运行在TB（或TA）值下的摆，其性能最稳定。
③可倒摆
为提高测的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是TC（即T1），TF（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。但曲