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证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系， 就出现了新的一类习题， 就是证明一直线是圆的
切线 . 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线 l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连
行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 .

OA，证明 OA⊥l 就
1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD延长线于 F.
求证： EF与⊙ O相切 .
证明： 连结 OE， AD.
AB是⊙ O的直径， ∴ AD⊥ BC.
又∵ AB=BC，
∴∠ 3=∠ 4.
⌒ ⌒
∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2.
又∵ OB=OE， OF=OF，
∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） .
∴∠ OBF=∠ OEF.
∵ BF 与⊙ O相切，
OB⊥ BF.
0
∴∠ OEF=90.
EF 与⊙ O相切 .
说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例 2 如图， AD是∠ BAC的平分线， P 为 BC延长线上一点，且 PA=PD.
求证： PA与⊙ O相切 .
证明一： 作直径 AE，连结 EC.
AD是∠ BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC.
PA=PD，
∴∠ 2=∠ 1+∠ DAC.
∵∠ 2=∠ B+∠ DAB，
∴∠ 1=∠ B.
又∵∠ B=∠ E，
∴∠ 1=∠ E
∵ AE是⊙ O的直径，
0
AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90.
0
∴∠ 1+∠ EAC=90.
OA⊥ PA.
PA 与⊙ O相切 .
证明二： 延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE.
AD是∠ BAC的平分线，
⌒
BE=CE，
OE⊥ BC.
0
∴∠ E+∠ BDE=90.
OA=OE， ∴∠ E=∠ 1.
PA=PD， ∴∠ PAD=∠ PDA.
又∵∠ PDA=∠ BDE,
0
∴∠ 1+∠ PAD=90
即 OA⊥ PA.
∴ PA与⊙ O相切
说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用

.
3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M
求证： DM与⊙ O相切 .
证明一： 连结 OD.
AB=AC， ∴∠ B=∠ C.
OB=OD， ∴∠ 1=∠ B.
∴∠ 1=∠ C.
∴OD∥ AC.
∵DM⊥ AC， D
DM⊥OD.
DM与⊙ O相切
证明二： 连结 OD， AD.
AB是⊙ O的直径， ∴ AD⊥BC.
又∵ AB=AC,
∴∠ 1=∠ 2.
∵DM⊥ AC，
∴∠ 2+∠ 4=900
OA=OD，
C
∴∠ 1=∠ 3.
∴∠ 3+∠ 4=900.
OD⊥ DM.
∴ DM是⊙ O的切线
说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的 . 证明二是通过证两角互余证明垂直的，
解题中注意充分利用已知及图上已知 .
0
例 4 如图，已知： AB是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB=30，BD=OB， D 在 AB 的延长线上 .
求证： DC是⊙ O的切线
证明： 连结 OC、 BC.
∵ OA=OC，
∴∠ A=∠ 1=∠ 300.
∴∠ BOC=∠ A+∠ 1=600.
又∵ OC=OB，
∴△ OBC是等边三角形 .
∴ OB=BC.
D
∵ OB=BD，
∴ OB=BC=BD.
∴ OC⊥ CD.
∴ DC是⊙ O的切线 .
说明： 此题是根据圆周角定理的推论
3 证明垂直的， 此题解法颇多， 但这种方法较
.
2
例 5 如图， AB 是⊙ O的直径， CD⊥ AB，且 OA=OD·OP.
求证： PC是⊙ O的切线 .
证明： 连结 OC
2
∵ OA=OD· OP， OA=OC，
2
∴ OC=OD· OP，
OC OP
.
OD OC
又∵∠