分数阶微分方程数值解的一种逼近方法样稿.doc

分数阶微分方程数值解一个迫近方法
By:Pankaj Kumar, Om Prakash Agrawal
摘要
本文提出了一类分数阶微分方程（FDEs）,FDEs被Caputo型分数阶导数所表现. Caputo型分数阶导数属性能够让一个分数阶微分方程减弱为一个Volterra型积分方程. 这么做了以后,很多研究Volterra型积分方程数值方法也能够应用于寻求FDEs数值解. 本文总时间被划分为一组小区间,在两个连续区间中，用二次多项式迫近未知函数. 这些近似被替换成转化Volterra型积分方程由此取得一组方程. 这些方程解提供了FDE解. 这种方法被应用于处理两种类型FDEs,线性和非线性. 用这里给出方法得到解能和解析解和其它方法数值解很好吻合. 同时结果说明这种数值方法是稳定.

本文讨论分数阶微分方程数值解. 分数阶导数和分数阶积分多年来收到了广泛关注. 在很多实际应用中，分数阶导数和分数阶积分为考虑系统提供了愈加正确地模型. 比如，，Bagley 和Torvik提出了这个领域已经被研究工作一个回顾，而且说明了半阶导数模型能够很好地描述阻尼材料频率以来. 另部分学者说明了分数阶导数和分数阶积分在电化学过程，电解质极化，有色噪声，粘性材料和混沌领域应用. Mainardi，Rossikhin和Shitikova提出了分数阶导数和分数阶积分在通常固体力学，特定粘弹性阻尼模型中应用调查. Magin提出了分数阶微积分在生物工程三个关键部分回顾. 分数阶导数和分数阶积分在其它领域应用和相关数学工具和技巧还能够在很多其它文件上找到.
系统模型中分数阶导数引进大多会造成分数阶微分方程出现. 对一些特定分数阶微分方程在通常系统条件下解，已经有多个方法被找到. 这些方法包含，拉普拉斯变换，傅里叶变换，模态综正当和特征向量展开法，数值法和基于
Laguerre积分公式方法. 然而，这些方法中大多数不能被应用到非线性分数阶微分方程. 更深入，正如Diethelm等人指出，这些方法很多只能应用到特定类型分数阶微分方程，而且大家并不知道她们能否被推广. 而且，在很多作者研究结果中，并没有出现系统性收敛性分析.
最近，对于能被应用到线性和非线性分数阶微分方程数值稳定数值迫近技巧，大家爱好愈发浓厚. 这些方法技巧大多利用了分数阶微分方程能够被减弱为Volterra型积分方程特征. 所以，Volterra型积分方程数值解法也能够应用到分数阶微分方程解当中. Diethelm等人提出了分数阶微分方程数值解一个PECE方法，其中P,C,E分别代表估计，校正和估量. 这么一来很多学者又推广了应用于常微分方程和分数阶微分方程Adams–Bashforth–Moulton型估计-校正格式. 这种方法提出也是利用分数阶微分方程能够被转化为Volterra型积分方程特点. 这些作者同时提出了误差分析和用Richardson外推法改善数值精度延伸. Ford和Simpson提出了一个阶数大于1分数阶微分方程数值解法. 在该公式中，阶大于1分数阶微分方程被减弱为阶小于1分数阶微分方程，然后用对应数值解法解由此导出系统. 在全部这些方法当中，节点之间未知函数用线性函数迫近. Kumar and Agrawal提出了阶数大于1分数阶微分方程数值解法. 这种方法要求就y(t)和它导数在时间节点上连续.
本文基于古典分数阶微分方程能够转化为Volterra型积分方程特点也提出了一个数值方法来迫近分数阶微分方程解. 尤其地，我们用二次迫近函数来建立这种算法，结果说明这种方法能够被应用到寻求分数阶微分方程数值解. 我们还经过两个例子，线性和非线性问题处理，说明了这种方法高效和正确，而且这种数值方法是稳定.

相关分数阶导数定义已经出现有好多个，它们包含Riemann–Liouville, Grun-wald–Letnikov, Weyl, Caputo, Marchaud,和Riesz分数阶导数. 这里，我们要求使用Caputo导数.
其中，Caputo导数定义是
D*αyt=1Γn-α0tt-τn-α-1*ddτny(τ)dτ, (n-1<α<n), (1)
其中，α是导数阶数，n是比α大最小整数.
式(1)早在19世纪就在Liouville论文中被提出，在Caputo论文发表前十二个月它被Rabotnov所用. 然而，在文件中，被（1）式所定义分数阶导数作为Caputo导数被广泛认知.
在接下来讨论中，我们考虑含有Caputo导数初值问题:
D*αy