2-9函数单调性与凸性的判别方法.ppt

返回第二章一元函数微分学微积分第九节函数的单调性、凹凸性、拐点一、函数的单调性,)(, 为增函数如图 xf .0)(??xfx o y)(xfy?x o y)(xfy?, ( ) , f x 如图为减函数( ) 0. f x ??返回第二章一元函数微分学微积分 1、单调性判别法(一阶导数符号判别法) 则设),,()( ],,[)(baDxfbaCxf??定理 1: ;],[)(,0)( ),,()1( 上单调增加在则若baxfxfbax????.],[)(,0)( ),,()2( 上单调减少在则若baxfxfbax????注意: .1,],[ 仍成立定理改成任何形式的区间将ba 返回第二章一元函数微分学微积分例1、 3 32)3()2(1)1( xyxyxey x?????讨论函数的单调性: yxo 3 2xy? yox 3xy?返回第二章一元函数微分学微积分注意: ;0)1(, 0)1( 0???x xy 中的如叫做函数的驻点的点使;)2( ,)1( )2 )(1()2( 的不可导点的驻点能是知单调区间的分界点可由.)(, ,0)(,)()3( 上总是单调增加的在则点只有有限个且使等号成立的上在区间若Ixf xfIxf??返回第二章一元函数微分学微积分例2、 32 ( ) (2 5) f x x x ? ?确定的单调区间。返回第二章一元函数微分学微积分 2、单调性应用(1)证明不等式则上单调增加在若,],[)(baxf原理: );()()( ),,()1(bfxfafbax???则若;0)( ),,(,0)()2(???xfbaxaf则当若).()(,)3( 21 21xfxfbxxa????则若返回第二章一元函数微分学微积分例3、 2 (0, ) , sin . 2 x x x ??? ?时证明: 返回第二章一元函数微分学微积分(2)讨论方程根的个数原理: . )(0)(. ],[0)(,],[)( 的个数单调区间的实根个数即有实根上至多一在则上单调在若xfxf baxfbaxf???例4、.)0( 有几个实根讨论方程??a ax e x. 注意结合零点定理讨论返回第二章一元函数微分学微积分 A B 1. )(xf 在区间 I 上连续,,, 21Ixx??(1) 若恒有,2 )()()2 ( 2121xfxfxxf ???则称的)(xf 图形是下凸的(凹弧); (2) 若恒有,2 )()()2 ( 2121xfxfxxf ???则称的)(xf 连续曲线上的凹凸分界点称为拐点. 图形是上凸的(凸弧). yox 2x 1x 2 21xx?yox 1x 2 21xx?2x yox 二、曲线的凹凸与拐点返回第二章一元函数微分学微积分 2、判别法定理 5: ( ) , f x I 设在上可导定理 6: ( ) , f x I 设在上二阶可导注意: . )(, 0 公式阶展成应明确在哪一点公式时使用 Taylor nx Taylor (1) ( ) , ( ) ; f x I f x I ?若在上递增则在上是下凸的(2) ( ) , ( ) . f x I f x I ?若在上递减则在上是上凸的??(1) , ( ) 0, ( ) ; x I f x f x I ??? ?若则在是下凸的(2) , ( ) 0, ( ) x I f x f x I ??? ?若则在是上凸的