力学量算符表示.doc

第三章 力学量的算符表示
1．如果算符、满足条件，
求证：，
，
[证] 利用条件，以左乘之得
则有
最后得 。
再以左乘上式得
， 即
则有
最后得
应用数学归纳法可以证明 ：
先设 成立，
以左乘上式得
则有
最后得
2．证明
[证] 应用 及，
则
同理可证
则
3．若算符满足
，
求证：
其中，
[证] 方法一：把直接展开，比较系数法。
而
…………
因此，把展开式的的同次幂的系数合并之后，我们容易得到：
方法二：定义算符
其中S是辅助参数。则算符对S的微商给出
…………
取，得
将展开为麦克劳林级数
按定义，，所以我们最后得到
4．如果都是厄密算符，但，向：
（1）是否厄密算符？
（2）是否厄密算符？
[解] 利用厄密算符具有的性质
及
（1）令
则
当 时，，故不是厄密算符。
（2）因，故
因此 是厄密算符。
例如，和都是厄密算符，且，所以不是厄密算符，事实上显然不可能是厄密的。
但是在 中，把它改写为
，显然左方是厄密算符。
5．如果都是厄密算符，而算符，求证：。
[证] 。
6．试证明力学量所对应的算符是，并进一步用数学归纳法证明力学量所对应的算符是。
[证] 先证明一维情况，按定义
而 ，
，
利用恒等式
故
由于：
故
同理
故
对于，可先设成立，然后写出的表示式，进行一次分部积分后，不难得出
7．求：
并由此推出、、分别与的对易关系。
[解] ，，
且
以及 之间均可对易。
故
同理
同理可证，对于分别有
，，
及 ，，
一般地，我们可以将上述各式合并写为：
其中为循环指标，而
8．求
并由此推出分别与的对易关系。
[解]
同理可证：
，
，
一般地，可以把上面的式子合并为
9．一维谐振子处于基态，
其中
求
[解] 。
利用第二章第3题的结果，我们知道是已归一化了的，故
同理，
注意到一维情况下，只须考虑，因此
最后得
讨论：①通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系
一致。
②的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第3题的结果，处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为
，
它是的偶函数，，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动量空间）是一维谐振子的主要特征之一。
③也可以从动量空间中求平均而得到。
在以为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为
，
令 代入上式可得
在以为自变量的表示式中，考虑到算符，故薛定谔方程为
同理可令 ，于是有
显然的解只须在中以代替即得：
而
故
和上面得出的结果一致。
10．一维运动的粒子处在
，
求
[解]由第二章第1题知归一化系数为
在上面的计算中利用了积分公式
最后得
讨论：①，满足测不佳关系。
②用及求得的结果也和上面的结果一致。
显然，在已知的情况下，把用算符代替，直接用坐标几率分布函数表计算或，比先由求动量几率分布函数，再由
来或简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给计算带来方便。
③在第四章将看到，一个力学量，不管用作自变数，还是用或其它量作自变数，计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测量的值，它不应当和计算方法有关。
11．求粒子处在态时角动量的分量和角动量分量的平均值；并证明：
[解]（1）先证明两个普遍的关系：
可以用两种方法来证明。
（a）从角动量算符所满足的对易关系出发：
或
由一式与二式乘i后相加减可得：
或
用算符对运算得：
另外，注意到和均可对易，故有：
所以
从上面二式可见既是的本征函数，本征值为，又是的本征函数，本