利用根轨迹分析闭环系统.ppt

第四节 控制系统根轨迹的绘制
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前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：
标注开环极点“ ”和零点 “ ”；
○
画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：
确定实轴上的根迹区间；
计算极点处的出射角和零点处入射角：
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计算根轨迹和虚轴的交点；
计算会合点和分离点：
利用前几步得到的信息绘制根轨迹。
注意：
后两步可能不存在；
在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
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一、 单回路负反馈系统的根轨迹
前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反馈系统的。
[例]开环传递函数为： ，画根轨迹。
②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；
③渐进线倾角： 与实轴的交点为：
[解] ：①标出四个开环极点：0，-2， 。有四条根轨迹。
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④-3+4j处的出射角 ：
根据对称性，可知-3-j4处的出射角 为：
⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为：
劳斯阵为：
当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时， 。
辅助方程为： ，解得共轭虚根为：
即为根轨迹与虚轴的交点。
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⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为
由 得：
由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实数范围内变化时， 最大时为分离点。









-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
s
可见分离点在-~-，近似取-。
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⑦绘制根轨迹，如下图所示。
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Imag Axis
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[解]：⑴开环零点 ，开环极点
根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。
⑵实轴上根轨迹区间：
例4-4中已求得，分别为分离点=
-,会合点=-，分离角
⑶分离点和会合点：
⑷绘制根轨迹。
[例4-7]设开环系统传递函数为：
试绘制根轨迹。
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[例4-8]设系统开环传递函数为：
试绘制系统的根轨迹。
[解]：开环零，极点分别为：
⑴根轨迹有四支。
⑵渐近线倾角
重心：
⑶实轴上根轨迹区间
⑷实轴上无分离点和会合点。
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⑹与虚轴的交点：
闭环系统的特征方程为：
劳斯阵列：
劳斯阵有一行全为0，表示有共轭虚根。令：
辅助方程为：
⑸出射角：
对
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