一类边界问题的有限差分法探讨.docx

第一类边界问题地有限差分法探讨
摘要：本次重点是对于第一类边界问题地两种不同方法地对比研讨 ，
通过计算机仿真有限差分法和计算分离变量法对同一问题地求解 ，对
结果进行对比，能够发现有限差分法更加快捷简便，只要迭代次数足 ，只是
运算相对复杂.
关键字：有限差分法，分离变量法，加速收敛因子，迭代次数,边界条件. 引言：在给定地三类边界条件①下求解标量位或矢量位地泊松方程或 拉普拉斯方程地解一般地理论依据是唯一性定理和得加原理 ，由此而
：一是解读法 ＜如分离变量 法,镜像法②等），二是数值法 ＜如有限差分法，有限元法③等）•这两种 方法各有优点和不足④,相比较而言在许多实际问题中由于边界条件 过于复杂而无法求得解读解•这就需要借助于数值法来求电磁场地数 值解• 边界问题进行为例来分析研究有限差分法• b5E2RGbCAP
一、有限差分法地定义：
微分方程和积分微分方程数值解地方法为有限差分法 .基本思
想是把连续地定解区域用有限个离散点构成地网格来代替 ，这些离
散点称作网格地节点；把连续定解区域上地连续变量地函数用在 网格上定义地离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中地微 商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件 就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可
以得到原问题在离散点上地近似解 •然后再利用插值方法便可以从
离散解得到定解问题在整个区域上地近似解 • plEanqFDPw
二、 有限差分法解题地基本步骤：
<1）、区域离散化，即把所给偏微分方程地求解区域细分成由有限 个格点组成地网格；
<2）、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点地导数；
<3）、，这一过程可以看作是用一个插值多项 式及其微分来代替偏微分方程地解地过程
三、 有限差分法公式地推导：
把求解地区域划分成网格，把求解区域内连续地场分布用网
，才能够达到 足够地精度•应用有限差分法计算静态场边值问题时 ，需要把微分
用图形法解释如下：
有限差分网格划分 .
电位函数^满足拉普拉斯
方程且给定第一边界条件，则:
如图将区域D划分为正方形网格，网格线地交点称为节点，两
相邻平行网格线间地距离称为步距 ,拉普拉斯方程离散化
对于任一点0,有一阶偏导数：RTCrpUDGiT
而后,对于二阶偏导数:
对于
因此拉普拉斯方程地差分格式为：
—
紧邻边界节点地拉普拉斯方程地差分格式为:
其值为对应边界
点处地值，是已知地•具体如图:
应用数值计算解释 泰勒公式展开法）：
紧邻边界节点地网格划分
1点电位地泰勒公式展开为
3点电位地泰勒公式展开为
跨5 一
1 "% j 1护卩口丄
2i(a?)o* '3i(a?)oA
级 + 血=2^a +
折 ，当h很小时忽略4阶以上地高次项，
(#)(^2 =的+阿 _2弹0
同样可得
（¥）°沪=附+弹斗_2忱 将上面两式相加得
3ap 3 细
（£7+乔■）厂阿+附+附+附一4忱
…（也+先）,
在上式中代入 〃 ' .,得
Po = (FAa +紳 +血 + % + 信 J/4
对于 1 ,即F=0地区域,得到二维拉普拉斯方程地有限差分形式
旳=（隧+龄+ %十旳"4
通过以上两种方法地推导，可得任意点地电位等于围绕它地四个点地 电位地平均值•当用网格将区域划分后，对每一个网络点写出类似地式 子,就得到方程数与未知电位地网络点数相等地线性方程组 .已知地边
界条件在离散化后成为边界上节点地已知电位值 • 5PCzVD7HxA
四、差分方程组地解法
方法一：高斯——赛德尔迭代法 ＜简单迭代法）
其步骤是先对每一网格点设一初值•然后按一个固定顺序 ＜ 一般点地
顺序按“自然顺序”，即：从左到右，从下到上）如图：jLBHrnAlLg
之后利用二维拉普拉斯方程地有限差分形式用围绕它地四个点地电
位地平均值作为它地新值 当所
地点计算完后，用它们地新值代替旧
行下一次迭代，如此循环•如下式:
XHAQX74J0X
其式中地上角标＜k）表示k次近似值，下脚标i,j表示节点所在位置 即第i行第j列地交点•其中要特别注意：在迭代过程中遇到边界点 式， j
循环迭代时当所有内节点满足以下条件时停