第一类边界问题的有限差分法探讨.doc

第一类边界问题的有限差分法探讨摘要: 本次重点是对于第一类边界问题的两种不同方法的对比研讨, 通过计算机仿真有限差分法和计算分离变量法对同一问题的求解,对结果进行对比, 能够发现有限差分法更加快捷简便, 只要迭代次数足够多就能使误差趋于零。而分离变量法则是准确的计算出结果, 只是运算相对复杂。关键字: 有限差分法,分离变量法,加速收敛因子,迭代次数,边界条件。引言:在给定的三类边界条件①下求解标量位或矢量位的泊松方程或拉普拉斯方程的解一般的理论依据是唯一性定理和得加原理, 由此而得出的解题方法有很多。主要分为两大类: 一是解析法( 如分离变量法, 镜像法②等), 二是数值法( 如有限差分法, 有限元法③等)。这两种方法各有优点和不足④,相比较而言在许多实际问题中由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。这就需要借助于数值法来求电磁场的数值解。有限差分法便是一种比较容易的数值解法。本次研讨就以第一类边界问题进行为例来分析研究有限差分法。一、有限差分法的定义: 微分方程和积分微分方程数值解的方法为有限差分法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。二、有限差分法解题的基本步骤: (1)、区域离散化, 即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格; (2) 、近似替代,即采用有限差分公式替代每一个格点的导数; (3)、逼近求解。换而言之, 这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。三、有限差分法公式的推导: 把求解的区域划分成网格,把求解区域内连续的场分布用网络节点上的离散的数值解来代替。网格划分的充分细,才能够达到足够的精度。应用有限差分法计算静态场边值问题时, 需要把微分方程用差分方程替代。用图形法解释如下: x yo L 10 234 hh D 在由边界 L 界定的二维区域 D内, 电位函数φ满足拉普拉斯方程且给定第一边界条件,则: 如图将区域 D 划分为正方形网格,网格线的交点称为节点, 两相邻平行网格线间的距离称为步距 h 。然后,拉普拉斯方程离散化,对于任一点 0 ,有一阶偏导数: 而后,对于二阶偏导数: ????????????)(| D(0 2 22 2sf yx L???内) 在区域有限差分网格划分 x xxh yhxyhxx ????????????2 ),(),( 0000 0h yhxyhxx x xxx),2/(),2/( 00002 2 0?????????? 2 3012h ??????对于 Y 轴同理: 因此拉普拉斯方程的差分格式为: 紧邻边界节点的拉普拉斯方程的差分格式为: 其中 p、 q 为小于 1 的正数; 1、 2 为边界上的节点, 其值为对应边界点处的值,是已知的。具体如图: 应用数值计算解释(泰勒公式展开法): 1 点电位的泰勒公式展开为 2 402 2 22 0hy yy??????????04 04321??????????0 1111)1()1( 0 4321???????????????????????qpqpqqpp1 0 24 3hph qh h 紧邻边界节点的网格划分 3 点电位的泰勒公式展开为,当 h 很小时,忽略 4 阶以上的高次项,得同样可得将上面两式相加得在上式中代入,得对于,即 F=0 的区域,得到二维拉普拉斯方程的有限差分形式通过以上两种方法的推导, 可得任意点的电位等于围绕它的四个点的电位的平均值。当用网格将区域划分后, 对每一个网络点写出类似的式子, 就得到方程数与未知电位的网络点数相等的线性方程组。已知的边界条件在离散化后成为边界上节点的已知电位值。四、差分方程组的解法方法一:高斯——赛德尔迭代法(简单迭代法) 其步骤是先对每一网格点设一初值。然后按一个固定顺序( 一般点的顺序按“自然顺序”,即: 从左到右,从下到上) 如图: 之后, 利用二维拉普拉斯方程的有限差分形式用围绕它的四个点的电位的平均值作为它的新值, 当所有的点计算完后, 用它们的新值代替旧值, 即完成了一次迭代。然后再进行下一次迭代, 如此循环。如下式: x yo 1234 567 8?????????????????,2,1, )(1, )(,1 )1(1, )1(,14 1 )1(,ji kji kji kji kji kji?????(迭代公式 1) 其式中的上角标( k )表示 k 次近似值,下脚标