外接球问题典型例题.docx

在三棱柱 ABC - ABG 中，已知 AA _ 平面 ABC, AA =2,BC 二 2 <3,. BAC ，此 2
三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）
32 二
25 二
A. — B . 16二 C .
3 3
【知识点】线 面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式
31二
D.
2
【答案解析】A解析：解：直三棱ABC- ABC的各顶点都在同一球面上，（如图），
E A
•••L ABC中，？BAC P, •••下底面L ABC的外心P为BC的中点，
2
同理，可得上底面L 的外心Q为BQ!的中点， 连接PQ ,则PQ与侧棱平行，所以PQ丄平面ABC
再取PQ中点0,可得：点0到A, B,C,A1,B1,C1的距离相等，
0点是三棱柱ABC - A B C外接球的球心
1
RTLJP0B 中，BP 二—BC二亦,PQ 二—AA=1,
2
0B 二、.BP2 + P02 =2 ,即外接球半径 R = 2 ,
因此，三棱柱ABC - A B C外接球的球的体积为：V = 4 p R3二* p 23二3-P .
3 3
故选：A.
【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABC-ABG外接
^P0B中，利用勾 股定理算出0B的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所 求外接球的体积.
四面体 ABCD 中，已知 AB=CD= 29, AC=BD= 34, AD=BC= 37,则四面体 ABCD 的
外接球的表面积（）
A. 25二 B. 45 二 C. 50二 D . 100二
【知识点】几 何体的外接球的表面积的求法；割补法的应用•
丨
【答案解析】C解析：解：由 题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为
全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以 29, 34, 37为三边的三角形作为 底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、
高分别为 x，y，z 的长方体，并且 x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）
25
2=x2+y2+z2=50 （ R为球的半径），得 R2= ，所以球的表面积为S=4 n2=50
2
选：C.
【思路点拨】将 四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然
后求解外接球的表面积.
已知正四面体的棱长为 2，则它的外接球的表面积的值为 .
【知识点】球内接多面体.
【答案解析】3p解析：解：正 四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1;对角线长为：3 ,
•••棱长为J2的正四面体的外接球半径为.
2
骣3 2
所以外接球的表面积为4p琪^厂 =3p，故答案为3P •
【思路点拨】正 四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角 线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径，可求外接球的表面积.
如图是某爲何体的三视图•则 该儿何体的外接球的表面积 为 （ 〉
200ir
150tc
100 k
俯视图
50x
已知正三棱锥 P -ABC，点P, A, B, C都在半径为J3的求面上，若 PA, PB, PC两两互
相垂直，则球心到截面 ABC的距离为 。
【答案】§3
3
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、 运算求解能力以
及转化思想，该题灵活性较强， 难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到
条件中的垂直关系，把三棱
正三圏隹R-ABC可看作由正污体PADU-EEFG戡得，如图所乔，
PF为三棱锥P-ABU的外接球的直径，且P卢一平面-掳&「设正方悴棱长黄囱则
由心一应二辭3 3 2 ，所以 3 ，因構心至（平面ABC的距
ABCD 中，匹二曲二 CD 二 \,BD 二血，BDlCD 四面体 A-BCD 使平面 才血丄 平面
上，则该球的体积为
平面四边形
u，若四面体
（ ）
,将其沿对角线
A-BCD 的顶点在同一个球面
折成
(A)
(B)
(C)
(D)
根据题意，如图，可知 RiNJUBD 中，曲二忑,在 M5CD 中,
-- 一、「,又因为平面 平面」匚二，所以球心就是的中点,
尸二巫 卩二込』二退咒
半径为 J，所以球的体积为： 二 -.
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4,底面边长为2,则该球的表面积为
B . 16: C . 9 二