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第四章 根轨迹分析法
系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性。
伊凡思(. Evans)创立根轨迹法（1948）
几何图解求解特征根
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l  系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时，
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
l  可以推广到其它参数的变化－广义根轨迹。
l  可用于单变量系统和多变量系统。
l  常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。
l  利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控
制系统。
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本章主要内容
以K为变量的常规根轨迹的绘制方法
以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法
根轨迹分析方法的应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
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根轨迹的概念
定义：
根轨迹
—系统中某一参数在全部范围内变化时，
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
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1 根轨迹举例
例4-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。
－
K
开环传递函数：
分析：
有2个开环极点
没有开环零点。
闭环特征方程
求出2个闭环特征根：
（4-1-1）
闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化，
闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
闭环传递函数：
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K取不同值：
（等于两个开环极点）
Im
Re
0
(两根重合于－)
（即0≤K≤1/4，两根为实根）
×
×
﹣1
﹣
(两根为共轭复数根，其实部为－)
●
●
6
总结：
有两个闭环极点，有2条根轨迹。
根轨迹是从开环极点出发点。
通过选择增益K，可使闭环极点落
在根轨迹的任何位置上。
如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。
Im
Re
0
×
×
﹣1
﹣
●
●
这是个？阶系统，
2
根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。
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根轨迹绘制的基本规则
1、根轨迹的基本关系式
典型的反馈控制系统如图:
G(s)
H(s)
－
其开环传递函数：
（4-2-1）
其中：K:开环增益，
— 开环零点，
— 开环极点。
×
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闭环传递函数：
闭环特征方程为：
它们满足：
G(s)
H(s)
－
G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：
-1
φ
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绘制根轨迹必须满足的基本条件：
（相角公式：积的相角等于相角的和，
商的相角等于相角的差）
幅值条件
相角条件
（积的模等于模的积，商的模等于模的商）
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