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多想一小步少算一大步

数学高考命题趋势仍以能力立意,重视考查数学思想,降低了试题的入口难度,加大了思维量,所以学生在解题时,注重思考解题方法,没路走要找路走,也不要急于有路就走,要适当选择好的方案,多想一点,就少算一点,甚至少算很多。下面通过对一个例题的思考过程,体会一下如何多想一小步就少算一大步,希望学生能从中得到一些启发。
例:已知函数
求函数的最大值;
当时,求证:。
解析: (1) .
分析:这是函数和不等式的综合问题,利用函数最值证明不等式是常用的方法,于是,学生简单审题后想到一种思路:把其中一个看作是自变量,构造函数,于是有以下解法:
解1:令

(过程略)

在(0,b) 上单调递减
,原不等式得证
很明显,此种解法中间运算较繁琐,学生在解题中要么钻进了“死胡同”,要么运算错误,要想准确无误做出来比较困难。
思考1:能否变形转化,使构造的函数简单些呢?
解2 要证
只要证
只要证
即证
令即证
设



在上恒成立在上单调递增
则原式得证
思考2:注意到,利用不等式的传递性,再构造函数。
解3
要证
只要证

设
令
在上单调递增
原不等式得证
思考3 若将原不等式变形为,可得解4
解4 将原不等式变形为
设

,

∴在上单调递增,
,原不等式得证。
思考4 不用函数思想可以吗?第一问结论能否用到呢?若注意到
,可得解法5
解5
由(1)知

思考5 若不等式变形为,不等号左边表示怎样的几何意义呢?
解6 欲证
即证
表示为两点间斜率,
易知其范围即为在上的范围。
∴
∴当时,单调递减

又

写作缘由:在平时教学中,发现很多同学解题时,总是一有思路就急于下笔,往往用的方法并不是较简单的方法,既浪费时间又容易出错,特写此论文来提醒学生注重审题,寻找适当的方法,加强思维上的锻炼,来适应高考的要求。