函数单调性地判断或证明方法.docx

函数单调性的判断或证明方法 .
（ 1）定义法 。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是 ①取值，设 ，
且 ； ②作差 ，求 ；③变形（合并同类项、通分、分解因式、
配方等）向有利于判断差值符号的方向变形； ④定号，判断 的正负
符号，当符号不确定时， 应分类讨论； ⑤下结论 ，根据函数单调性的定义下结论。
例 1. 判断函数 在( － 1，＋∞ ) 上的单调性，并证明．
解： 设－ 1<x1<x2，
则 f(x 1) － f(x 2) ＝ －
＝
＝
∵－ 1<x1<x2，
x1－ x2<0， x1＋ 1>0， x2＋ 1>0.
∴当 a>0 时， f(x 1) － f(x 2)<0 ， 即 f(x 1)<f(x ∴函数 y＝ f(x) 在 ( － 1，＋∞ ) 上单调递增．当 a<0 时， f(x 1) －f(x 2)>0 ， 即 f(x 1)>f(x
∴函数 y＝ f(x) 在 ( － 1，＋∞ ) 上单调递减．

2) ，
2) ，
例 在区间 和 上是增函数；在
上为减函数。 （增两端，减中间）
证明：设 ，则
因为 ，所以 ,
所以 ，
所以
所以
设
则

，
因为

，
所以
所以
所以

，
同理，可得
2）运算性质法 . ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，
增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数． （增 +增=增；减 +减 =减；增 -减=增，减 -增=减）
②若 .
③当函数
④ 函 数

.
二者有相
反的单调性。
⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（ 3）图像法 . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例 3. 求函数 的单 调区间。
解：
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
4）复合函数法 . （步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数
的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性 . ⑤若集合 是内层函数
的一个单调区间，则 便是原复合函数 的一个单调区间， 如例 4；若 不是
内层函数 的一个单调区间，则需把 划分成内层函数 的若干个