高三数学导数专题例题及知识点总结.doc

导数专题
一、导数的基本应用
（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值
基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值
基本方法： 一般通法：利用导函数研究法
特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法
第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧
【例题1】已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
解：．
令，得．
当，即时，，所以函数在和上单调递减．
当，即时，的变化情况如下表：
0
当，即时，的变化情况如下表：
0
所以，时，函数在和上单调递减，在上单调递增，
时，函数在和上单调递减．
时，函数在和上单调递减，在上单调递增．
第二组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧
【例题2】已知函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值.
解：（Ⅰ）由函数图象过点，得，……… ①
由，得，则；
而图象关于轴对称，所以－，所以，
代入①得 .于是.
由得或，故的单调递增区间是，；
由得，故的单调递减区间是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令得或.
当变化时，、的变化情况如下表：
f'(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
由此可得：当时，在内有极大值，无极小值；
当时，在内无极值；
当时，在内有极小值，无极大值；
当时，在内无极值.
综上所述，当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.
点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.
【例题3】已知函数，a＞0，
(I)讨论的单调性;
(II)设a=3，求在区间[1，]=…是自然对数的底数.
解：（Ⅰ）由于,令得
当，即时，恒成立，∴在上都是增函数.
当，即时，
由得或
∴或或
又由得，∴
综上,当在上都是增函数；
当在及上都是增函数，
在是减函数.
（2）当时，由（1）知，在[1，2]上是减函数，在[上是增函数.
又
∴函数在区间[1，]上的值域为.
点评：
（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；
（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题.
（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围
基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围
基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等
【例题4】已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.
（I）求函数的解析式；
（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.
解：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即 ……①
又，由已知得……②
联立①②，
（II）因为 令
当函数有极值时，，得.
①当时，有实数，在左右两侧均有，故无极值
②当时，有两个实数根情况如下表：
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值；
点评：
本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.
本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.
【例题5】 设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．
因为是函数的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ） 由题设，．
当在区间上的最大值为时，
，即．故得
反之，当时，对任意，
，
而，故在区间上的最大值为．
综上，的取值范围为．
点评：
本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.
本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.
（三）导数的几何意义
【例题6】设函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求