第七章 弹性力学平面问题的直角坐标解法.doc

第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法
真实的弹性体都是空间物体,但当其形状和受力情况具有某些特点时,在数学上可按平面问题处理。本章先介绍平面应变问题、平面应力问题和广义平面应力问题,然后在直角坐标系中来解平面问题。
 §1 平面应变问题
  基本定理及其推论
  平面应变问题是在几何与物理两方面都有特点的弹性力学问题。
        几何特点:弹性体为母线与轴平行的长柱体。
 物理特点:弹性体上所受体力和侧面所受外力都平行于平面,全与无关,且它们在平面内构成平衡力系。
许多重要的工程实际问题都具有上述两个特点,、涵洞和受内压的圆管等。

如同第六章的Saint-Venant问题一样,我们仍采用半逆解法。对于本节的问题,既然弹性体的形状和所受外力都不依赖于坐标,可以想象弹性体中的变形也与坐标无关,于是位移场可作如下的预先假定
()
其中为柱体的横截面。
满足条件()的弹性力学问题,通常称为平面应变问题。现在来逐个考察第五章所建立的边值问题的全部方程和全部边界条件。由于(),几何方程成为
()
从()可知,应变仅有“平面”上的分量、和,且不依赖于;而应变的三个“向”分量、和全部自动消失。
在()之下,本构方程为
()
可以看出, 、和三个应力分量都是、的函数,两个与向有关的剪应力、都为零,但向的正应力却不为零。也就是说平面应变问题的应力可不是“平面”的。此时,平衡方程为
()
按问题的特点,式中和与无关,而应为零。
由于柱体侧面上的外法向总与轴垂直,其时上的应力边界条件为
()
这里为的边界曲线。另外,按问题的物理特点,面力分量和与无关, 应为零。
我们知道,弹性力学的边值问题的解存在且唯一,而假定()是在边值问题的方程和边界条件以外又加上了新的限制。那么在这种限制之下,问题是否可能还有解?或者说,这种限制与其几何特点物理特点是否相容?答案是肯定的,先有下述定理:
如果体力、和面力、构成平衡力系,即:
()
则下述边值问题的解存在且唯一(位移精确到刚体位移),
()
                           ()
()
          ()
其中为平面区域, 为其边界, 均为的函数。
,可按Fichera(1972)的Sobolev空间方法,或Kupradze(1978)的弹性势论方法得到,也可按复变函数的方法证明,参见Мусхелишвили(1958)一书的312页至321页。关于上述定理的唯一性部分,类似于第五章第二节的唯一性定理的证明。
,当然也可考虑位移边值问题和混合边值问题,限于篇幅不再叙述相应的定理了。,却非常有用的推论。
若
()
是问题()-()在平面区域上的解,则
()
是弹性力学问题()-()在无限柱体上的解。
设为有限柱体,其两端的边界条件分别为下列三种情况之一:
()
其中是问题()-()的解。则()为有限柱体上弹性力学问题()- ()和()条件之一的解。
设为长柱体(即比的特征尺寸大得多),在的端部上给定合力和合力矩,
  ()
在上, 端具下述合力和合力矩
()
的Saint-Venant问题的解,记为、、。
则长柱体上,弹性力学问题()-()()在Saint-Venant意义下的一个解为
()
这里、、为问题()-()的解。
§2 Airy应力函数
无体力情形
若无体力,平衡方程()和应力协调方程(),分别为
()
()
以应力为未知量的平面应变问题,归结为求解方程()()。
由于平衡方程(),我们可定义两个与路径无关的线积分,
()
其中为中的某个固定点, 为中的任意点。从(),得
()
在()中,关于的两个式子应一致,有
()
类似地,从()可知存在函数,使
()
将()代入(),得到
()
通常称()中的为Airy应力函数。从上面的推导可知,只要应力分量、和满足平衡方程(),就存在Airy函数使(2