第三章 平面问题的直角坐标解答.doc

平面问题的直角坐标解答
第一节逆解法和半逆解法
1、基本方法
求解方程就归纳为求解应力函数问题,应力和应力函数必须满足:
应力函数的相容方程:

边界上面力和应力的关系

(3)用下试求应力分量

逆解法:先构造满足应力函数相容方程的个种形式的Φ,然后根据应力边界条件求得Φ的最终形式
半逆解法:先根据应力边界条件确定Φ的形式,然后求得应力。

2、几种基本的Φ的形式
1) 一次式

代入应力公式得:
得出:一、线性应力函数所对应的是无体力、无面力、无应力的状态二、将平面应力的应力函数加上一个线性函数,并不影响所求应力结果。
所以:今后构造Φ的形式中不在有线性部分即一次式
2)二次式

一定满足应力函数的相容方程分别考察
A: 得
2a
X
2a
Y
Y
受力图

O

B: 得
受力图
b
O
b
b X
b
Y
C: 得
O
2C 2C
X
Y
3)纯三次式:
得

O X
Y
第二节矩形梁纯弯曲
设有矩形截面的长梁(长度远大于深度),它的宽度远小于深度和长度(近似的平面应力的情况)

图3-3
取坐标轴如图所示。由前一节中已知,满足相容方程的应力函数
能解决纯弯曲的问题,而相应的应力分量为
(a)
现在来考察,这些应力分量是否满足边界条件,如果能满足,系数a应该取什么值。
首先考虑上下两个主要边界(占边界绝大部)的条件。在下边和上边,都没有面力,要求
这是能满足的,因为在所有各点都有其次,考虑左右端次要边界(占边界很小部分)的条件。在左端和右端,没有铅直面力,分别要求
这也是能满足的,因为在所有各点都有。
此外,由于的两端面是相对较小的边界,可以应用圣维南原理,将关于的边界条件改用主矢量和主矩的条件代替。
。
将式(a)中的代入,上列二式成为
。
前一式总能,而后一式要求
。
代入式(a),得
。(b)
注意到梁截面的惯矩是,上式又可以改写成为
。(3-1)
这就是矩形梁受纯变曲时的应力分量,与材料力学中完全相同,即,梁的各纤维只受有按直线分布的所谓弯应力,如图所示。
应当指出,组成梁端力偶的面力必须按如图3-2所示的直线分布,解答(3-1)才是完全精确的。如果两端的面力按其他方式分布,解答(3-1)是有误差的。但是,按照圣维南原理,只在梁的两端附近有显著的误差;在离开梁端较远之处,误差是可以不计的。
第四节简支梁受均布荷载
设有矩形截面的简支梁,深度为,长度为2,体力可以不计,受均布荷载,由两端的反力维持平衡,图3-5。为了方便,仍然取单位宽度的梁来考虑。
图 3-5
这个问题用半逆解法求解,步骤如下:
假设应力分量的函数形式。
由材料力学已知:变应力主要是弯矩引起的,挤压应力主要是由直接荷载引起的。现在,不随而变,因而可以假设不随而变,也就是假设只是的函数:
。
(2)推求应力函数的形式。将代入应力公式(2-24)有
。
对积分,得
(a)
(b)
其中和都是待定的函数。
(3)由相容方程求解应力函数。为使应力函数满足相容方程,将式(b)代入应力函数相容方程式
得
。
这是的二次方程,但相容方程要求它有无数多的根(全梁内的值都应该满足它),可见它的系数和自由项都必须等于零,即方程里不能有X
。
前面两个方程要求
。(c)
在这里,中的常数项已被略去因为这一常数项乘以X后成为的表达式中的一次项,不影响应力分量(见§3-1)。第三个方程将的(c)代入得
这也就是要求(对上式积四次分)得
, (d)
其中的一次项及常数项都被略去,因为它们不影响应力分量。将式(c)及式(d)代入式(b),得应力函数
(e)
(4)由应力函数求应力分量。将式(e)代入式(2-24),得应力分量
(f)
, (g)
。(h)
在这里,因为面是梁和荷载的对称面,所以应力分布应当对称于面。这样,和应该是的偶函数,而应该是X 的奇函数。于是由式(f)和式(h)可见
。
(5)考察边界条件。

根据这个理由,先来考虑上下两边的主要边界条件:
。
将应力分量(g)和(h)代入,并注意前面已有,可见这些边界条件要求
将,分别代入的公式得
可以联立求解而得出
。
将以上已确定的常数代入(f),(g),(h)三式,得
(i)
(j)
(k)
现在来考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性,只需考虑其中的一边,例如左边。如果右边的边界条件能满足,左边的边界条件自然也能满足。
首先,在梁的右边,没有水平面力,这就要求当时,只