夏令营测试.doc

2010年浙江省数学夏令营测试题
一、填空
1．函数的最小正周期是
解：作出的图象如下
不难由图看出的周期是.
2． 已知，，若△ABC是直角三角形，在k的值为
【简解】5或或由知，k=；
由知，k=5；由知，k=.
经检验，均符合题意。
3．已知对每一对实数，函数满足若则满足的n个数是 ．
【解】 2
令得即
令得由知
当时，
同理，所以，
令解得或
4． 已知数列是正整数组成的递增数列,且满足,若，则的值为 ．
解： ，
方程的正整数解为或，又
∴，故
5． 设函数，若方程在区间上有两个不等的实根，则为 ．
解：因为方程有两个不等的实根，所以设，
因为，所以，因为，所以，故得且。
又因为，所以，
于是，当且仅当时取等号，
同理；
又因为不相等，所以上述两个不等式不能同时取等号，
故， 所以，
又，且，所以，
取时满足题意。所以，。
6． 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ．
解：由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值。
7. 不等式的解集为 .
解:
(*)
取函数,则是奇函数且在R上单调递增,
所以(*)
故不等式的解集为
8. 的边长同时满足：(1) a,b,c均为整数；
(2) a,b,c组成等比数列；(3) a与c中至少有一个等于100，
则三元数组所有可能的种数为 .
【简解】解答：按题设，正整数满足，且中至少有一个为100，
（i）若则故可取故，注意到，则b可取100，110，120，130，140，150，160，相应的
（ii）若则故，又故注意到，则b可取70，80，90，100，相应的综上所述，三元数值共有10组可能的解：
三、解答题
【题1】已知抛物线：（），直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，若，求实数的值。
【简解】（1）由，得．
设，，则，．
所以 ，．
由是线段的中点知，．
由知，．
又．
所以，解得或（舍去）．所以 ．
【题2】设为方程的解。证明 (1) 对