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第五章不可压缩理想流体一元
流动
∂∂
一元流动= = 0
∂∂qq23
在一元流动中各物理量只沿流线变化。
§5-1 不可压理想流体一元不定常流动
的基本方程
一. 连续方程
∂ρ
ρVn⋅=dA − dτ
w∫∫∫∫∫∂t
A0 τ
不可压缩流体∂ρ∂=t 0
ρρVn⋅ dA ==V dA 0
ww∫∫∫∫ n
AA00
一元管道流动或球对称流动
VA11= V2A2==VA Q()t
式中Qt()是以时间为参数的常数,即体积流量,
其值可由某一通流截面上的已知条件来确定。
二. 运动方程
∂V V 2 1
dl ⋅+[(∇)−V(×∇×V)−f+ ∇p]=0
∂t 2 ρ
(1)质量力有势时 f = −∇U
(2)不可压缩流体有∇p ρ=∇()p ρ
(3)dVlV= ()dl
∂VV2 p
dl + d()++U =0
∂t 2 ρ
2
ll∂VVp
dl + d()++U =0
∫∫ll11∂t 2 ρ
l1 表示流线上某一点的状态
22
l
∂VV pV11p
dl ++U +=+U1 +=c()t
∫l1 ∂t 22ρρ
ct()为以时间 t 为参数的常数。
对于一元流动并不需要研究运动是否有旋的问题。
但是对于球对称或平面轴对称问题(对称轴与平面
垂直),从整个流场来看运动是无旋的,可以直接
采用柯西-拉格朗日积分
∂ϕ Vp2
+++Uf=()t
∂t 2 ρ
§5-2 不可压理想流体一元不定常
流动的若干具体问题

如图所示的等截面直角形管道ABC ,垂直段管长
AB ,水平段管长 BC , ABB==CL,管中盛满
水,C 处有阀门,管口接大气,大气压力为 pa ,质
量力为重力。试问:当阀门突然打开,管中压力分
布如何?
把坐标原点放在水平管的中心线与垂直管的中心线
的交点 B上,流线从 A 点开始计算。
VQ= ()t
在同一时刻管道中各点的速度是一样的。由此,
可得出∂V在同一时刻,沿着流线也是常数。
∂t
pp ∂Vl
=+A UU−− dl
ρρ A ∂t ∫0
在 A、C 两点之间应用方程
p pV∂ 2L
c =+A UU−− dl
ρρ Ac∂t ∫0
ppcA==paUgA = L Uc = 0
∂Vg
由上式可得=
∂t 2
可得管道内的压力分布为
pgp L
=+a gL −U −
ρρ 2
在垂直管中:lL= − zUg= z
p p 1
= a +−gL()z
ρρ2
在水平管中:z = 0 lL>
pgp l
= a +−gL
ρρ 2

淹没在不可压缩静止流体的球面,以RRbb= ()t的
规律膨胀(或收缩),设无穷远处流体 pc∞= onst
压力质量力不计,求球面上的压力pb及流场压力。