2021年度逐次逼近法(2).doc

第三章 逐次迫近法

1、 一元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为:
1）映内性x∈[a,b], φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L∣x-y∣其中L＜1, 此时φ为压缩算子, 在不停迭代中, 就能够得到最终不动点集。 由微分中值定理, 假如∣φ’∣≤L＜1, 显然它一定满足压缩性条件。
2、 多元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为:
1）映内性xn∈Ω, φ(xn) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1, 其中▽φ为xn处梯度矩阵, 此时φ为压缩算子, 在不停迭代中, 就能够得到最终不动点集。
3、 当φ(x)= Bx+f时, 收敛条件为, ρ（B）＜1, 此时xn+1= Bxn+f, 在不停迭代中, 就能够得到线性方程组解。
4、 线性方程组迭代解法, 先作矩阵变换
Jacobi迭代公式矩阵形式
Gauss-Seidel迭代公式矩阵形式
超松弛迭代法公式矩阵形式
三种迭代方法当初全部收敛。
5、 线性方程组迭代解法, 假如A严格对角占优, 则Jacob法和Gauss-Seidel法全部收敛。
6、 线性方程组迭代解法, 假如A不可约对角占优, 则Gauss-Seidel法收敛。
7、 Newton迭代法, 单根为二阶收敛
8、 Newton法迭代时, 碰到重根, 迭代变成线性收敛, 假如知道重数m, 仍为二阶收敛
9、 弦割法 , 分半法收敛速度为（b-a）/2n-1
10、 Aitken 加速公式
经典例题分析
1、 证实假如A严格对角占优, 则Jacob法和Gauss-Seidel法全部收敛。
证实: 首先证Jacob法收敛, 因为A严格对角占优, 则, 于是
, 从而, 这又有, 所以Jacob迭代法收敛。
再证G-S法收敛, 因为, , 非奇异, 而, 所以, 从而严格对角占优矩阵一定可逆。
在G-S法中, , 从而, 求矩阵特征值时,
只能是, 因为A严格对角占优, , 假如, 两边乘, 这说明矩阵仍然严格对角占优, 前面已证实, 该行列式不能为0, 这是一个矛盾。 所以, 只能是, 而这恰好说明Gauss-Seidel迭代法收敛。
2、 证实: 假如A对角元非零, 超松弛迭代法收敛必需条件是
证实: 令, 假如超松弛迭代法收敛, 应该有
而,
从而必需满足。
3、 分析方程2x-3x+4x-5x+6x-7x+8x-9x+10x=10是否有实根, 确定根所在区间, 写出求根Newton迭代公式,并确定迭代初始点。
解:
所以该方程在[1,2]有且仅有一个实根, Newton迭代公式为
/（）, x0= 即可
4、 由求Newton 迭代公式
证实: 对一切 是递减序列。
证实: 首先, 假如中xk>0 , 于是
。 又因为k=1开始
5、 若f(x)在零点ξ某个邻域中有二阶连续导数, 而且f’(ξ)≠0, 试证: 由Newton迭代法产生xk(k=0,1,2,…)有
证实: 由Taylor公式,
6、 证实: A∈Cn*n,对任意范数有,
证实: 首先存在某种范数 所以
, 取 得到
, 对不等式同时取极限即得到
再依据范数等价性 对不等式同时取极限即得到对任意范数有结果
7、 确定常数p,q,r, 使以下迭代法收敛到, 该方法最少几阶？
解: , 一个迭代格式, 在根周围它p-1阶导数为零, 就最少有p阶收敛速度
习题解答
判定正误、 选择和填空:
1）、 对于迭代过程, xn+1=φ(xn), 若迭代函数在x* 邻域有连续二阶导数, 且,
则迭代过程为超线性收敛。
（不正确）, xn+1=φ(xn)迭代收敛条件有两条, 1）映内性xn∈[a,b], φ(xn) ∈[a,b] 2）压缩性。 更不能确保有超线性收敛, 比如:
用Newton迭代法求任何非线性方程 均局部平方收敛。 （不正确）
若线性方程组Ax=b 系数矩阵A 为严格对角占优, 则Jacobi迭代法和G-S迭代法全部收敛。 （正确）
解非线性方程f(x)=0弦解法迭代含有（局部超线性敛速 ）。
局部平方收敛; （B）局部超线性收敛; （C）线性收敛
任给初始向量x(0)及右端向量f, 迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛于方程组Ax=b正确解x*充要条件是（）。
设φ(x)=x-β(x2-7), 要使迭代法xk+1=φ(xk)局部收敛到x*=, 则β取值范围是（）。
用迭代法xk+1=xk