高等数学(同济大学)课件下第92二重积分的计算.ppt

第二节
第九章
二重积分的计算法
利用直角坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分
A一三三快分的换
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●08
利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知,当被积函数f(x,y)≥0
且在D上连续时,若D为X-型区域
y=p2(r)
D
D
∫a(x)sy≤q2(x)
<h
2(x)
y=1(x
则
d
f(x, y)dy
若D为Y型区域D:1(y)≤x≤v2(y)
x=v2(y)
则f(x,y)dxdy=dy
f(x, y)dx
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°ag8
当被积函数f(x,y)在D上变号时由于
f(x, y)+f(r
fo
f2(x,y)均非负
f(r, y)dxd
fi(, y)dxdy
f2(,y)dxdy
因此上面讨论的累次积分法仍然有效
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●08
说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y-型区域
则有「nf(xy)dd
2(x)
d
f(x, y)d
Vy)
x=2(y)
2(y)
P1(r
f(x, y)dx
on a
为计算方便可选择积分序必要时还可以交换积分序
(2)若积分域较复杂可将它分成若干
X型域或Y-型域,则
D
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意08
例1计算1=xydo,其中D是直线y=,x=2,及
y=x所围的闭区域
,则D
dx, xyd y
,则D
y≤x≤2
dyl xvdx
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°ag8
例2计算∫Ddo,其中D是抛物线y2=x及直线
y=x-2所围成的闭区城
解:为计算简便,先对x后对y积分
D
则
D
x≤y+2
xyd
d
yr dy2
y(y+2
y ay
4
4
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令00

SIn x
dxdy,其中D是直线y=x,y=0
所围成的闭区域
解:由被积函数可知先对x积分不行,y
因此取D为X—型域
0≤y≤x
D
sInx
n SInx
dxd
y
D
0
Sinrdx
cOS X
说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.
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例4交换下列积分顺序
a」5f(xy)y+2d0f
解:积分域由两部分组成:
8
0≤x≤2
将D=D1+D2视为Y型区域,则
√2
D
0≤y<2
f(x, y)dxd
f(x, y)d
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°ag8
例计算/=Dxlm(y+y1+y2dy,其中D由
y=4-x2,y=-3x,x=1所围成
解:令f(x,y)=xln(y+√1+y2)
D=D1+D2(如图所示)
显然在D1上,f(-x,y)=-f(x,y)y3N
在D2上,f(x,-y)=-f(x,y)
rin(y
Ddxdy
xIn(y +1+y)dxdy =0
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●08
利用极坐标计算二重积分
6=6.+△
在极坐标系下,用同心圆r=常数
6=Bk
及射线θ常数,分划区域D为
△
△ak(k=1,2,A,m)
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
Aak=l(+An)2△AO

2[+(nk+△k)Ak△knk
在△k内取点(2O),对应有
Sk=r cos 0x, nk =. nOko
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