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最优捕捞问题的数学模型
数学与信息科学学院　数学与应用数学专业　贺勇　学号：
指导教师：
容摘要：本文根据在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大，更深一步讨论影响最优捕捞的经济因素：成本与价格、资金与贴现、供求及税收．
关键词：可持续捕捞；捕捞努力量；最大可持续捕捞量；净收益
1. 引言
　鱼类是可再生生物资源，是满足人类生活需求的一种重要物质．鱼类资源的可持续性受人类利用方式的影响．在合理开发利用的情况下，鱼类资源可以恢复、更新；在开发利用不合理的条件下，再生过程受阻，甚至被破坏，再恢复代价是巨大的．因此对渔业资源的开发必须适度，实现其可持续发展，一种合理的策略是：在实现可持续捕捞的前提下，使渔业资源的纯利润最大．本文假定渔场中的鱼量在纯粹的自然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变这个捕捞就可以持续下去，再利用Logistic模型和Scheafer模型，讨论渔场鱼量的稳定性、能维持可持续发展的最大可持续捕捞量以及受经济因素影响的最大可持续净收益(经济利润)．
2. 关于渔场鱼量变化规律的数学模型
假设鱼种群在纯粹的自然状态下，渔场在一定的空间围是封闭的．因此鱼种群的自然增长可以用经典的Verhulst-Pearl Logistic模型描述，即
　　　　　　　　，　　　　　　　　　　(1)
式中是在时刻渔场中的鱼量，假设函数是连续而且充分光滑的．为鱼种群的固有增长率．
为环境负荷量，在环境约束下种群所能达到的最大数量．表示单位时间鱼的增长量．
如果由Logistic模型方程(1)所描述的鱼种群在时刻以速率被捕捞，那么(1)变为 　　　 ． 　(2)
如果我们选择的捕捞策略是固定努力量捕捞的策略，则意味着捕捞努力量等于常数．在这种情况下，通常需要假设单位努力量的捕获量与鱼种群的鱼量成正比，即
　 或 ， (3)
其中是常数，称为可捕系数，可以令，将(3)式代入模型(2)得
， (4)
这就是将要讨论的可再生资源开发的数学模型，通常称之为Scheafer模型．
我们不需要解方程(4)，以得到的动态变化过程，只须知道渔场稳定时的鱼量和保持稳定的条件即可．
3. 渔场鱼量的稳定性分析
稳定性分析是建立在微分方程之上进行的．下面我们就先介绍方法，对于方程
，　　　　　　　　　　　　 (5)
我们把代数方程的实数根称作方程(5)的平衡点，显然是方程(5)的一个解．另外在点附近有 　　　　
，
所以若，则与异号，故　
图（1）a
当时，从而当增加时，向点方向减少； 0
当时,从而当增加时，向点方向增大．
这样随着t的增加，有 　 ，故是稳定 N
平衡点．反之若,则是不稳定平衡点．
根据上面介绍的稳定性分析方法，考察自然 　 K
状态下渔场鱼量的模型(1)，鱼量处于平衡时有
图（１）b典型解曲线
，　即．　 　 　　0　　　　　　　 　 t
解得：（不研究时的情况）（如图(1)a）．当时，则；当时，则，所以是稳定平衡点（如图(1)b）．
再考察捕捞情况下渔场鱼量的模型(4)式，令
　　　　 　，
得到两个平衡点　
， 　．　　　　　　 (6)
易知　　　　　 ，　　．
若则，．故点稳定，点不稳定；
若则，．故点不稳定，点稳定．
上述分析表明：
渔场鱼量稳定的条件是：（下面将重点讨论在此情况下的最优捕捞）．
在稳定的条件下，渔场鱼量稳定在，持续捕捞量为．
（３）称为捕捞适度．称为捕捞过度．当捕捞过度时，渔场鱼量将减
少至，当然谈不上获得持续产量了．
4. 捕捞最优控制模型
鱼类资源管理的目的在于制定一种捕捞策略，使得鱼类资源在可持续捕捞的条件下为人类提供最大的收益，在数学上讲：就是
或条件下的极大化所期望的收益．
对于Scheafer模型，若我们把“收益”理解为以捕捞鱼种群个体数为指标的鱼的产量，则问题就可以数学的叙述为

采用图解法求解，首先作出和 　
的图象（如图(2)），易求　
得在原点处的切线为