用定义证明函数单调性.ppt

用定义证明函数的单调性一、课题导入 1 分钟前面我们已经知道了什么是增函数,什么是减函数的定义,以及它们的单调区间,我们只能通过图像来判断在某个区间内这一段是增还是减函数。那么我们还能用什么方法来判断在某个区间内它是增函数还是减函数呢? 二、学习目标 2 分钟 1. 熟悉掌握增函数与减函数的定义 2. 学会用定义证明函数的单调性三、预习指导 5分钟怎样通过解析式就能判断函数的单调性? 证明:函数 f(x)=-2x+2 在R上是单调减函数证:在 R上取两个值 x 1 ,x 2,且x 1x 2, 则 f(x 1 )-f(x 2 )=(-2x 1 +2)-(-2x 2 +2) =-2(x 1 -x 2,)因为 x 1 <x 2,所以-2(x 1 -x 2,)0, 所以 f(x 1 )-f(x 2)0及 f(x 1) f(x 2) 所以 f(x)=-2x+2 在R上是单调减函数取值做差变形定号下结论任意<<<< 四、引导探究 25 分钟例2:物理学中的玻意耳定律(k 为正常数) 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 V 减小时, 压强 p . 分析: 按题意,只要证明函数在区间( 0,+∞)上是减函数即可. V kp?证明: 根据单调性的定义,设 V 1,V 2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数,且 V 1<V 2,则???? 21 1221 21VV VVkV kV kVpVp ?????由V 1,V 2∈(0,+∞)得 V 1V 2>0; 由V 1<V 2 ,得V 2-V 1>0. ???? 0 21??VpVp又k >0,于是???? 21VpVp?即所以,,当体积 V 减小时,压强 p 将增大. ??????,0,VV kp 取值作差定号下结论证明函数单调性步骤证明函数单调性步骤证明函数单调性的一般步骤: ⑴取值:设 x 1 ,x 2 是给定区间内的两个任意值,且 x 1 < x 2 (或x 1 >x 2); ⑵作差:作差 f(x 1)-f(x 2) ,并将此差式变形(要注意变形到能判断整个差式符号为止); ⑶定号:判断 f(x 1)-f(x 2) 的正负(要注意说理的充分性) ,必要时要讨论; ⑷下结论:根据定义得出其单调性. 五、课堂小结 2 分钟本节课主要学习了以下内容: 1 .函数的单调性及单调区间的概念; 2 .根据定义证明函数的单调性的主要步骤. 六、【当堂清学】 10 分钟基础题证明函数 f(x)=x-1 的单调性证:任取 x 1,x 2 且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=x 1-x 2 <0, 则f(x 1)<f(x 2) 所以 f(x)=x-1 在R上是增函数。提高题 (x)=x 2+1在( -∞,0)上是减函数。任取 x 1,x 2∈(-∞,0 ),且 x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1 2-x 2 2 =(x 1-x 2)(x 1+x 2) ,由题设有 x 1-x 2<0, 当x 1,x 2 ∈(-∞,0) 时, x 1+x 2<0,所以 f(x 1)-f(x 2)>0 ,于是 f(x 1)>f(x 2) 所以 f(x)=x 2+1在( -∞,0)上是减函数。选做题已知函数 f(x) 是R上的增函数,设 F(x)=f(x)-f(a-x), 用函数单调性定义证明 F(x)是 R上的增函数? 解:设x 1,x 2∈ R,且 x 1<x 2, 则F(x 1)-F(x 2) =[ f(x 1)-f(a-x 1)]-[f(x 2)-f(a-x 2)] =[f(x 1)-f(x 2)]+[f(a-x 2)-f(a-x 1)]. 因为 f(x )是R上的增函数,且 x 1<x 2, 所以a-x 2<a-x 1. 所以f(x 1)<f(x 2),f(a-x 2)<f(a-x 1) 所以[f(x 1)-f(x 2)]+[f(a-x 2)-f(a-x 1)]<0 所以 F(x 1)<F(x 2)所以 F(x) 是R上的增函数