凸集、凸函数、凸规划.ppt

第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸集 (Convex Set)
凸函数 (Convex Function)
凸规划 (Convex Programming)
凸性(Convexity)，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
1
编辑ppt
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
仿射组合 (Affine Combination)
凸组合 (Convex Combination)
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
2
编辑ppt
凸集---定义
例 二维情况下，两点x1, x2 的
(a)线性组合为全平面；
(b)仿射组合为过这两点的直线；
(c)凸组合为连接这两点的线段；
(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
3
编辑ppt
凸集---定义
4
编辑ppt
凸集---定义
定义1
设集合
若对于任意两点
及实数
都有：
则称集合
为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：
半空间：
5
编辑ppt
例：
证明超球
为凸集．
证明：
设
为超球中的任意两点，
则有：
即点
属于超球,
所以超球为凸集．
凸集----举例
6
编辑ppt
(1)
任意多个凸集的交集为凸集．
(2)
设
是凸集，
是一实数，
则下面的
集合是凸集：
凸集-----性质
(3)
7
编辑ppt
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸
组合仍然在S中.
凸集-----性质
8
编辑ppt
注：
和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：
表示
轴上的点．
表示
轴上的点．
则
表示两个轴的所有点，
它不是凸集；
而
凸集．
凸集-----性质
9
编辑ppt
定义 设 S 中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
凸集-----凸包(Convex Hull)
H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.
10
编辑ppt