厦门大学《应用多元统计分析》第10章 多维标度法.ppt

第十章 多维标度法
第一节 引 言
第二节 古典多维标度法(Classical MDS)
第三节 权重多维标度(WMDS)
第四节 实例分析与计算实现
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第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。
多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的多元数据分析技术，简称MDS。
多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经
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Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。
多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示，而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏三维以上空间。
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多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测量尺度的不同MDS可分为：度量MDS和非度量MDS。当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS)，当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分为：古典多维标度CMDS（一个矩阵，无权重模型）、重复多维标度Replicated MDS（几个矩阵，无权重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵，权重模型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。
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第二节 古典多维标度法 (Classical MDS)
一 相似与距离的概念
二 古典多维标度分析的思想及方法
三 度量MDS的古典解
四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS)
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首先我们提出这样一个问题，，我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相对位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？
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表101 美国10城市间的飞行距离
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一、相似与距离的概念
在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。
1．相似数据与不相似数据
相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的数