求数列通项公式十种方法.doc

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全,归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号)、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、
特征根法
二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法.
　　 三 。求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
　　 　 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
　 ，其定义域是自然数集的一个函数.
一、累加法
1。适用于： --——————-—这是广义的等差数列　 累加法是最基本的二个方法之一.
2。若,
则 　
两边分别相加得　
例1 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则
所以数列的通项公式为。
例2 已知数列满足，求数列的通项公式.
解法一:由得则
所以
解法二:两边除以，得,
则,故
因此，
则
，且写出数列的通项公式.　 　 　 　 　　 　 答案:
，，求此数列的通项公式.　 　 　 　 　 　 　 　 　　　 答案:裂项求和 　
评注：已知，,其中f（n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项．
①若ｆ(n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
③若f(n）是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和；
④若ｆ(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
例3．已知数列中， 且,求数列的通项公式．
解：由已知得,
化简有,由类型(1）有，
又得，所以，又，,
则
此题也可以用数学归纳法来求解．
二、累乘法
1．○。 -—---－--－-－—ﻠﻠﻠﻠ
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ﻠ适用于:　 -—－—----——这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二.
2．若,则
两边分别相乘得,
例４ 已知数列满足，求数列的通项公式.
解：因为，所以,则，故
所以数列的通项公式为
例5。设是首项为1的正项数列,且(=1，2， 3，…)，则它的通项公式是=________.
解：已知等式可化为:
（）（n＋1）,　　 即
时,
==。
评注:本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.
练习．已知，求数列{an}的通项公式.
答案：—1。
评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式．
三、待定系数法 适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1。形如,其中）型
(1）若c=1时，数列｛}为等差数列；
（2）若d=０时,数列{}为等比数列;
（3)若时，数列｛｝为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:设，
得，与题设比较系数得
，所以所以有：
因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,
所以　　 即：。
规律:将递推关系化为，构造成公比为ｃ的等比数列从而求得通项公式
逐项相减法(阶差法）：有时我们从递推关系中把ｎ换成n—１有，两式相减有从而化为公比为c的等比数列
,进而求得通项公式。 ，再利用类型（1)即可求得通项公式．我们看到此方法比较复杂．
例6已知数列中，,求数列的通项公式。
解法一：
　 　
又是首项为2,公比为2的等比数列
　 　　　 　 ,即
解法二：
　 　
　 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……
,求通项。
答案：
2．形如: 　 　(其中q是常数，且ｎ０，1)
①若p=1时，即：，累加即可.
②若时，即:，
求通项方法有以下三种方向:i.　两边同除以