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类比法在电路分析中的应用
F0903003 5090309181 郑家骁
摘要：本论文讨论了类比其他物理模型，从而简化高阶电路分析的可行性与具体实现方法。然后讨论通过类比特定电路模型解决其他问题的方法
关键词：类比法 电路分析 机械振动 光速
前言：众所周知，电路分析的基本方法是根据电路元件的拓扑关系和KVL，KCL定律，列出方程，再结合支路元件的电气特性进行求解。而动态元件的出现将会导致列出的方程可能包含高阶微分项，给求解带来麻烦。而恰当使用类比法，就可以将复杂的高阶电路转化成相对简单的物理模型进行求解
正文：
类比机械振动求解高阶电路响应
首先我们可以从一个简单但是典型的例子入手探讨求解的方法。
如图是一个没有激励源的RLC串联回路，试求其零输入响应。
这个电路对应电路方程是二阶齐次微分方程：（取电容带电量Q为因变量）
图1 RLC串联电路
QC+Ld2Qdt2+RdQdt=0 (1)
求解这个方程是有一定难度的。
-bv
下面我们再看我们较为熟悉的物理模型：弹簧振子机械振动。
如图是一个弹簧振子系统，取向右为正方向，假定振子系统在振动时还受到与速度方向相反，大小正比于速度大小的阻力bv，则根据牛顿第三定律，其力学方程可写为：
图2 弹簧振子系统
-kx-bdxdt=md2xdt2
化简可得：
md2xdt2+bdxdt+kx=0 (2)
比照（1）（2）两式，不难发现，若令k=1C，m=L，R=b，x=Q，则两个方程完全相等，所以这种形式的振子系统和RLC串联电路完全可以一一对应起来。
根据我们非常熟悉的力学推导结果，阻尼振子运动方程的解为：
令ω0=km β=b2m
欠阻尼情况：
当β2<ω02时
x=A0e-βtcosωt+φ (3)
式中ω=ω02-β2<ω0 而A0=x0
过阻尼情况：
当β2>ω02时
x=c1e-(β-β2-ω02)t+c2e-(β+β2-ω02)t (4)
临界阻尼情况：
当β2=ω02时
x=c1+c2te-βt (5)
不失代表性，本文仅讨论欠阻尼情况下的解，其他情况类似，读者可自行讨论。
令k=1C，m=L，R=b，x=Q，代入（3）式，可得
Q=Q0e-R2Ltcos1LC-b24m2+φ (6)
两侧同除以C可得：
Uc=Uc0e-R2Ltcos1LC-b24m2+φ