均值不等式的证明及其应用 小芸卢生森 ()内蒙古大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010021 n n n 挑选 n 设A证明AA1，2，N为正数，I=1或I=1i n或 a a a a。 i=1 i=1 i=1 n 这两个不等式可以用来证明均值不等式，并得出三个不等式相互等价的结论。举例说明平均不等式是求解数列N. I 1 AI=1 极限的应用。 数学归纳法；均值不等式； 文件识别码a ()第10081399201305004704条- [1-2]给出了均值不等式的各种证明，并分别给出了均值不等式的各种应用方法，以[3-4]为例。本文将给出均值不等式的另外两个证明，同时举例说明其在求数列极限中的应用。 .引理1对于任何n个正数a，如果它是aa1，2，n，它们满足 n 等号-当且仅当aa1=a2=…=ak1=akk1=1 然后就成立了。 k1+ k1- ，aa-1+iakk1+ik+ a i=1 i=1 也就是， k1+ ak+1， 我 i=1 我 i=1 * a=1， n 我 当1=A2=…=AK1=1时，A保持等号的当且仅当。当命题成立时。N=K 1， 综上，命题得到证明。 .引理2对于任何n个正数a，如果它是aa1，2，n，它们满足 n 有 i=1 an， + 其中等号成立当且仅k+1 根据归纳假设， k1- ，aakk1+ik+ a i=1 ；收到日期：修改日期：2012050320130725- 关于作者：陆胜森(男，山东曹县人，数学专业，21990-)009级本科 :天生。emailxterhensen @ g 云(女，河南省祁县人，数学专业，21990-) 009本科：盛。 @ sy ak1+ 所以 )()(-ak+1ak1-k)+0， k+1k+1 48 ，()k+1 akk 1AK+ak1-++ k+1 高等数学研究2013年9月 ，b1=b2=…=bn=1 c1=c2=…=cn=1 一旦成立。因此有 n k 名词（nouns的简写） 当或时，等号成立，显然只有当aa。k=k1= k+1k+1 ，()ran 1ak1k ak1- KKKK 1满足 * a k=1nn k=1 a k n， ()，a+k+ak1-i=1+ kk+1ki=1 通过归纳假设 )k(kak+ak1-i+1， kk+1ki1= 也就是， )k (()，ak+1ak+ak1-i1+ * k+1i=1 惟一可能是 a=1=…=ak1=ak+ak1 - + k 1k 1时等号成立。然后是 k1+ k1+ ()k+1i=a i=1 k1-k1- k1- 即 n k=1 k * a * n，akk=1 n k1- ] ，k=1kk=1a 其中等号成立当且仅当a决定1=a2=…=an。 aknk=1 n * a k n 证明2用引理2。顺序 bi= k=1 我 ，c i= 三趾树懒 ak n n 我 我 ，kk=1a n .其中I=1，显然b和2，n. I和ci都是正数， ni=1 ())AK+1 aak+1k 1(+ * I ki=1 c=1。b=1， i=1 n 名词（nN个正数， .a1，aa2，n， [1] n i=1 n k=1 ，1nnaii=1ak 三趾树懒 n 1，n kk=1a , aknk=1kk=1a 等号成立当且仅当a1=a2=…=an。 证明1用引理1。顺序 aknk=1 n n 即 bi= 我 n n k .其中I=1，显然b和2，n. I和ci都是正数， n n i=1 ak=1 ，c i=ai n n k a，k=1 , k=1kk=1a 其中等号成立当且仅当a决定1=a2=…=an。 aknk=1 n n n k a n 定理2引理1，引理2和定理1是等价的。为了证明，先从定理1推导出引理2。如果 n ，c. i=1i=1b i=1 n n k=1 a k =1, 从定理1可以知道 n 根据引理1，
