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高等数学重积分的应用
第四节
一、立体体积
二、曲面的面积
三、物体的质心
四、物体的转动惯量
五、物体的引力
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重积分的应用
第十章
高等数学重积分的应用
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
对区域具有可加性
从定积分定义出发 建立积分式
用微元分析法 (元素法)
分布在有界闭域上的整体量
3. 解题要点
画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便
2. 用重积分解决问题的方法
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高等数学重积分的应用
一、立体体积
曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
占有空间有界域  的立体的体积为
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高等数学重积分的应用
例1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
内接锥面所围成的立体的体积.
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
则立体体积为
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二、曲面的面积
设光滑曲面
则面积 A 可看成曲面上各点
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
设它在 D 上的投影为 d ,
(称为面积元素)
则
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故有曲面面积公式
若光滑曲面方程为
则有
即
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若光滑曲面方程为
若光滑曲面方程为隐式
则
则有
且
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例2. 计算双曲抛物面
被柱面
所截
解: 曲面在 xoy 面上投影为
则
出的面积 A .
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三、物体的质心
设空间有n个质点,
其质量分别
由力学知, 该质点系的质心坐标
设物体占有空间域  ,
有连续密度函数
则
公式 ,
分别位于
为
为
即:
采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心
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