求数列通项公式的十一种方法.pdf

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求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法） 、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号） 、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式） 、
特征根法
二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、
等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比
数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于： an 1 an f (n) ---------- 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若 an 1 an f ( n) (n 2) ，
a2 a1 f (1)
a3 a2 f (2)
则
an 1 an f ( n)
.
.
n
两边分别相加得 an 1 a1 f (n)
k 1
例 1 已知数列 { an } 满足 an 1 an 2n 1， a1 1，求数列 { an} 的通项公式。
解：由 an 1 an 2n 1得 an 1 an 2n 1 则
an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a3 a2 ) (a2 a1) a1
[2( n 1) 1] [2( n 2) 1] (2 2 1) (2 1 1) 1
2[(n 1) (n 2) 2 1] (n 1) 1
(n 1)n
2 (n 1) 1
2
(n 1)(n 1) 1
n 2
2
所以数列 { an } 的通项公式为 an n 。
n
例 2 已知数列 { an } 满足 an 1 an 2 3 1，a1 3 ，求数列 { an } 的通项公式。
n n
解法一：由 an 1 an 2 3 1得 an 1 an 2 3 1 则
an ( an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a3 a2 ) (a 2 a1 ) a1
(2 3n 1 1) (2 3n 2 1) (2 32 1) (2 31 1) 3
n 1 n 2 2 1
2(3 3 3 3 ) (n 1) 3
n 1
3(1 3 )
2 (n 1) 3
1 3
n
3 3 n 1 3
n
3 n 1
n
所以 an 3 n 1.
n