3.1.3导数的几何意义.ppt

选修1-1 第三章 第一节

导数是 从物理中瞬时速度的模型 抽象出来的。推广在数学中有什么作用？
导数的定义
思考
导数的背后有它的几何意义，用它的几何意义来研究函数图像非常好用。那导数的几何意义是什么呢？
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函数y= f （x）在x=xo处的瞬时变化率，就定义为f （x）在xo处的导数。
=
Lim
∆x→0
f(∆x+ x0)- f(x0)
∆x

结合函数图像，观察导数表达式：
思考它的右边
f(∆x+ x0)- f(x0)
∆x
表示的几何意义是什么?
∆y
∆x
x0
xn
Q
表示割线PQ的斜率.
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Lim
∆x→0
f(∆x+ x0)- f(x0)
∆x

导数不仅在物理中是瞬时速度（平均速度的极限），
还在几何中还表现为割线斜率的极限。
因此
割线斜率的极限又是什么呢？我们继续探讨
而
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下面是函数y=f（x）的动态图像,当点Q（xn，yn）沿着曲线f（x）趋近点P（x0，y0）时，割线PQ的变化趋势是什么？
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【实验观察】

y
x
0
观 察
y=f（x）
T
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当点Q（xn，yn）沿着曲线 f（x）趋近点P（x0，y0）时,割线PQ逐渐靠近确定的位置PT ，我们称这个确定的位置PT为切线。
割线PQ的斜率的无限趋近于切线PT的斜率。
割线PQ斜率的极限的是：
即
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发现
切线PT的斜率
所以

∆x
∆y
T
Lim
∆x →0
KPQ
结论
f ¢(x0) =
这也是曲线在某点的切线斜率的本质。
Lim
∆x→0
f(∆x+ x0)- f(x0)
∆x
=
=
= KPT
导数的几何意义,是函数在该点的切线斜率。
记
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例：求函数y=x2在x0=1处的切线方程.
解：
f ¢(1)
Lim
∆x→0
(1+∆x)2- 12
∆x
=
=
Lim
∆x→0
(∆x +2)
= 2
∵
∴
函数在x0=1处的切线的斜率为2.
由直线方程的点斜式，得切线的方程为：
y-1=2(x-1)
即：
y=2x-1
又函数在x0=1处的纵坐标为1，所以切点坐标为（1,1）.
∴
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【方法提炼 】
用导数求函数在曲线上一点的切线方程的一般步骤：
.
.
，求在切点处的切线方程.
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